Раздел I. ПОСТУЛАТ СИММЕТРИЗАЦИИ

§ 2. Подобные частицы и симметрическое представление

Рассмотрим -частичную систему. Динамические переменные, описывающие частицу, являются функциями от ее координаты импульса и спина . Эти три вектора в дальнейшем будем обозначать одним символом . Зная значение спина частицы, мы можем построить пространство ее динамических состояний. Пространство динамических состояний всей системы является тензорным произведением

По определению, две частицы называются подобными, если они имеют один и тот же спин (подобные частицы не обязаны быть тождественными). В этом случае наблюдаемые и векторы состояния одной из частиц находятся во взаимно однозначном соответствии с наблюдаемыми и векторами состояния другой частицы и, следовательно, имеется возможность заменить частицу подобной ей. В общем случае, если имеется подобных частиц, то существует перестановок этих частиц. Каждой перестановке соответствует некоторый оператор в пространстве . Перейдем теперь к построению этих операторов перестановок. Для простоты будем считать, что

Рассмотрим одну из N подобных частиц. Пусть — множество основных наблюдаемых этой частицы, а — пространство ее векторов состояния. Пусть полный набор коммутирующих наблюдаемых в -базис собственных векторов набора с собственными значениями (индекс или ряд индексов х служат для нумерации собственных значений этого набора наблюдаемых). Тогда

В качестве можно, например, выбрать три компоненты х, у, z вектора и компоненту s Спина по оси Каждая частица а нашей системы имеет собственный набор коммутирующих наблюдаемых. Ясно, что множество является полным набором коммутирующих наблюдаемых в пространстве 8. Векторы

полученные как тензорные произведения базисных векторов пространств образуют базис некоторой реализации векторов и операторов в т. е. -представление. Мы будем называть представление такого типа симметрическим.