§ 6. Уравнение Дирака

Перейдем к построению релятивистского волнового уравнения для электронов. Следуя Дираку, будем поступать по аналогии с нерелятивистской квантовой механикой.

В нерелятивистской теории электрон описывается двухкомпонентным спинором, который при вращениях преобразуется, как момент импульса, равный 1/2. Поэтому в релятивистской теории электрон должен описываться волновой функцией, которая состоит из нескольких компонент и изменяется определенным образом при преобразованиях Лоренца, Обозначим компоненту с номером s волновой функции . Тогда Ф можно записать в виде матрицы, состоящей из одного столбца:

Как и в нерелятивистском случае, волновую функцию в данный момент времени можно рассматривать как функцию пространственных координат и внутренних, или спиновых, переменных Такая волновая функция задает

некоторый вектор состояния а пространство таких состояний есть тензорное произведение

пространства орбитальных переменных и пространства спиновых переменных; волновая функция отвечает этому вектору в подходящем представлении

Продолжая аналогию, мы определим плотность вероятности положения частицы формулой

В соответствии с такими гипотезами волновое уравнение должно иметь вид

где — эрмитов оператор в пространстве векторов состояния. Действительно, поскольку полностью определяет динамическое состояние электрона в данный момент времени, волновое уравнение должно быть первого порядка по времени, а для того, чтобы гарантировать самосогласованность нашего определения оператор должен быть эрмитовым (см. § IV. 3).

Поскольку мы ищем релятивистское волновое уравнение, естественно потребовать, чтобы оно обладало формальной симметрией между пространственными координатами и временем, т. е. было уравнением первого порядка и по отношению к пространственным переменным.

Рассмотрим вначале электрон в случае, когда внешнее поле равно нулю. Гамильтониан должен быть инвариантным относительно трансляций и, следовательно, не зависит от Учитывая все вышесказанное, его можно записать в виде

где оператор получается по правилу соответствия (26), т. е. означают 4 эрмитовых оператора, действующих только на спиновые переменные. Если использовать обозначение то волновое уравнение можно записать в виде

Для определения мы воспользуемся принципом соответствия и потребуем, чтобы решение этого уравнения удовлетворяло уравнению Клейна — Гордона

Умножая уравнение (38) слева на оператор получаем уравнение второго порядка

Полученное уравнение и уравнение (39) тождественны, если

4 оператора антикоммутируют, а их квадраты равны 1

Уравнение (38), в котором матрицы эрмитовы и удовлетворяют соотношениям (40), называется уравнением Дирака.

Для того чтобы получить уравнение Дирака, описывающее электрон во внешнем электромагнитном поле , нужно сделать подстановку

— заряд электрона: . Тогда получим

т. е.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (36), находим выражение для гамильтониана Дирака при наличии внешнего