§ 27. Плоские волны. Импульс излучения

Квантование электромагнитного поля, использующее разложение по плоским волнам, аналогично приведенному в § 6 квантованию скалярного поля. В данном параграфе мы ограничимся только наиболее важными формулами, отмечая в процессе изложения отличие от случая скалярного поля.

Рассмотрим полный набор поперечных плосковолновых полей. Для того чтобы иметь дело с дискретными индексами, будем рассматривать эти поля в кубе со стороной и потребуем выполнения обычных условий периодичности. Принадлежащее этому набору поле определяется волновым вектором к и квантовым числом — параметризующим поляризацию

Выражение для из § 21 (ур. (173 б)) отличается от данного только нормировкой. Векторы удовлетворяют уравнениям (174), которые определяют эти векторы с точностью до унитарного преобразования.

Сопоставим каждой плоской волне оператор уничтожения и оператор рождения Поле А зададим разложением (см. ур. (46) и (206))

а поле (см. ур. (47) и (207)) — разложением

Операторы а и удовлетворяют коммутационным соотношениям, характеризующим операторы рождения и уничтожения:

Оператор числа фотонов, находящихся в состоянии есть

Гамильтониан электромагнитного поля, выбранный таким образом, чтобы энергия вакуума была равна нулю, определяется равенством

Оператор импульса X выражается через операторы по формуле (189). Подставляя в эту формулу разложения (216) и (215), получаем (задача 6)

Из приведенных выражений (219) и (220) видно, что фотон в состоянии представляет собой частицу с импульсом и энергией т. е. частицу нулевой массы покоя с импульсом

Число состояний фотонов с импульсами, лежащими в интервале равно Множитель 2 возник в силу линейной независимости состояний с различной поляризацией при данном импульсе . Плотность уровней энергии при заданных направлениях импульса Q и поляризации (определение § 6) равна (см. ур.(49))