§ 5. Тождественные частицы и постулат симметризации

Если все N частиц рассмотренной выше системы будут не только подобны, но и тождественны, то ни одно из динамических свойств системы не изменится в результате любой перестановки этих частиц. Из этого свойства инвариантности можно вывести важные следствия относительно имеющихся законов движения и наблюдаемых системы.

Если — состояние системы в начальный момент времени то ее состояние в более поздний момент времени можно получить действием оператора эволюции

Если начальное состояние то эволюция системы отличается от исходной лишь перестановкой момент времени система будет находится в состоянии Следовательно,

и так как эти равенства должны выполняться при любом выборе то

Пусть Н — гамильтониан системы, тогда является решением уравнения Шредингера

удовлетворяющим начальному условию Из (31) и соотношения, получаемого из него дифференцированием по t,

имеем

Обратно, если Н и Р коммутируют, то оператор и его преобразование при перестановке совпадают, так как удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера с одним и тем же начальным условием. Следовательно, и Р коммутируют. Итак, условие (32) коммутации гамильтониана Я со всеми операторами перестановок Р является необходимым и достаточным для инвариантности уравнений движения относительно перестановок.

Рассмотрим теперь физическую наблюдаемую. В исследуемой системы и пусть собственный вектор В, соответствующий собственному значению Если хистема находится в состоянии , то при измерении В результатом всегда будет а если система находится в состоянии полученным действием оператора перестановки Р на вектор то измерение В должно дать тот же результат

для любой перестановки Р. Иными словами, каждый вектор из пространства порождаемого действием всевозможных перестановок N частиц на состояние в свою очередь должен быть собственным вектором оператора В, соответствующим тому же собственному значению (обменное вырождение). Для справедливости этого утверждения при всех собственных значениях наблюдаемой В необходимо и достаточно (ср. § VII. 15), чтобы при всех Р выполнялось равенство

Таким образом, N частиц тождественны, если гамильтониан Н и все физические наблюдаемые системы симметричны относительно перестановки этих частиц.

Следовательно, при определении состояния системы одновременным измерением переменных каждой отдельной частицы состояние будет определено, в лучшем случае, лишь с точностью до обменного вырождения. Можно будет

утверждать, что частиц из полного числа частиц N находятся в состоянии в состоянии в состоянии однако, наличность частиц в каждом из этих состояний останется неопределенной. В -представлении имеется базисных векторов, обладающих рассматриваемым свойством. Пусть - пространство, образованное этими векторами (порождаемыми действием перестановок на одно из них, выбранное произвольно). Состояние системы описывается одним из векторов этого пространства, но рассмотренное выше измерение не позволяет определить, каким именно. Однако, как мы видели в примере, приведенном в § 1, предсказания теории существенно зависят от того, в каком состоянии находится система, и эта неопределенность является источником действительного затруднения. Она может быть устранена введением постулата симметризации: состояния системы, содержащей N тождественных частиц, будут все либо симметричными, либо антисимметричными относительно перестановок этих N частиц.

Какое из этих предписаний следует применять, зависит от природы рассматриваемых тождественных частиц. Частицы с симметричными состояниями называются бозонами, а с антисимметричными — фермионами. (Мотивировка этих наименований станет ясной из дальнейшего.) Эксперимент показывает, что встречающиеся в природе элементарные частицы спина (электроны, протоны, нейтроны и т. д.) являются фермионами, тогда как частицы с целым спином (фотоны, -мезоны и т. д.) — бозонами.

Определенное выше пространство имеет не более чем один симметричный и не более чем один антисимметричный вектор. Таким образом, постулат симметризации полностью устраняет обменное вырождение. Остается только показать, что этот постулат не приводит к противоречиям с основными положениями квантовой механики, относящимися к эволюции физических систем и измерению физических величин.

Рассмотрим случай бозонов (фермионы можно рассмотреть тем же способом). В предыдущем параграфе мы определили проектор S на симметричные состояния. Он является комбинацией операторов перестановки , следовательно, коммутирует с оператором эволюции системы

и физическими наблюдаемыми

Соотношение (34) показывает, что если система находилась первоначально в симметричном состоянии, то она будет

оставаться в симметричном состоянии до тех пор, пока не будет внешнего возмущения. Из соотношения (35) следует, что S и В имеют по крайней мере один общий набор базисных векторов. Если состояние системы симметрично, то разложение вектора состояния по этому базису содержит только симметричные собственные векторы оператора В. Таким образом, очевидно, что операция измерения наблюдаемой В оставит систему в симметричном состоянии.