§ 6. Новые формулы преобразования (преобразование Лоренца) и их физический смысл

Из всего сказанного в предыдущем параграфе ясно, что правило параллелограмма скоростей, которое заставляло считать невозможным согласование теории Лоренца с принципом относительности, основано на произвольных и неприемлемых гипотезах. В самом деле, это правило приводит к следующим формулам преобразования:

или, в более общем виде,

Как мы видели, первое из этих соотношений выражает плохо обоснованную гипотезу о координатах времени элементарного события, взятых по отношению к двум системам отсчета и движущимся равномерно и прямолинейно одна по отношению к другой. Три другие соотношения выражают гипотезу о том, что кинематическая конфигурация системы относительно системы идентична геометрической конфигурации системы

Если оставить в покое обычную кинематику и на новых принципах создать новую, то при этом возникают формулы преобразования, отличные от приведенных выше. Итак, мы сейчас покажем, что из

1. Принципа относительности и

2. Принципа постоянства скорости света

следуют формулы преобразования, позволяющие видеть, что теория Лоренца совместима с принципом относительности. Теорию, основанную на этих принципах, мы называем теорией относительности.

Пусть и — две эквивалентные системы отсчета, т. е. такие, в которых длины измеряются одной единицей и в каждой из которых имеется по группе часов, идущих синхронно, если обе системы неподвижны одна относительно другой. В соответствии с принципом относительности законы природы должны быть одинаковы в этих системах,

независимо от того, находятся ли они в состоянии относительного покоя или движутся равномерно и прямолинейно одна по отношению к другой. Так, в частности, скорость света в пустоте должна выражаться одним и тем же числом в обеих системах. Пусть t, х, у, z — координаты элементарного события в системе и — координаты того же события в системе Мы поставили перед собой задачу найти соотношения, связывающие эти две совокупности координат. Используя однородность времени и пространства, можно показать, что эти соотношения должны быть линейными, т. е. время связано со временем формулой вида:

Отсюда, в частности, для наблюдателя, связанного с системой следует, что три координатные плоскости системы движутся равномерно; однако эти три плоскости не образуют прямоугольного трехгранника, хотя мы и предполагаем, что с точки зрения наблюдателя, связанного с этой системой, система является прямоугольной. Если же, обратившись к системе мы выберем ось параллельно направлению движения то, в силу симметрии, отсюда будет следовать, что система будет казаться нам прямоугольной. В частности, мы можем выбрать относительное положение двух систем таким образом, что ось будет постоянно совпадать с осью ось у будет все время параллельна оси у и, кроме того, для наблюдателя, связанного с системой одноименные оси будут иметь одинаковое направление. Начнем отсчитывать время с того момента, когда начала координат обеих систем совпадут. При этих условиях искомые соотношения оказываются однородными и уравнения

эквивалентными; иначе говоря, координаты связаны соотношениями следующего вида

Для определения постоянных А, В, С, D, Е, F, G, входящих в уравнения (2) и (3), мы учтем, что, в соответствии с принципом постоянства скорости света, скорость распространения имеет одну и ту же величину с по отношению к обеим системам, т. е., что уравнения

эквивалентны. Заменяя во втором из уравнений их значениями из (2) и (3) и сравнивая с первым уравнением, получаем формулы преобразования следующего вида:

Здесь

— некоторая функция подлежащая определению. Ее легко определить, если ввести третью систему координат эквивалентную двум первым, движущуюся относительно с постоянной скоростью — и ориентированную по отношению к системе таким же образом, как и по отношению к

Применяя два раза формулы преобразования (5), находим, что

Поскольку начала координат систем и все время совпадают, оси имеют одну и ту же ориентацию и системы эквивалентны, мы должны обязательно получить

Так как, кроме того, соотношение между у и у (как и между и ) не зависит от знака то

Отсюда следует, что

(значение в этом случае непригодно),

где

Лоренц очень удачно ввел эти формулы преобразования в электродинамику. В дальнейшем мы будем их называть преобразованием Лоренца.

Если эти формулы разрешить относительно получаются формулы того же вида, где, однако, штрихованные величины заменены нештрихованными и заменено на . В конце концов этот результат является очевидным следствием принципа относительности: система отсчета движется относительно системы отсчета параллельно осям со скоростью —V.

Комбинируя формулы преобразования с уравнениями, описывающими вращение одной системы относительно другой, можно получить более общие преобразования координат.