§ 8. Замечания о некоторых формальных свойствах уравнений преобразования

Рассмотрим две системы координат которые одинаково ориентированы и имеют общее начало.

В механике Ньютона существует два вида преобразований координат, не изменяющих законы движения.

1. Вращение системы по отношению к системе вокруг общего начала. Это преобразование характеризуется линейными уравнениями относительно между коэффициентами которых существуют такие соотношения, что условие

выполняется тождественно.

2. Равномерное и прямолинейное движение системы относительно системы Е. Это преобразование характеризуется уравнениями

где — постоянные. Для этих двух видов преобразований должно соблюдаться условие

Иными словами, время при этих преобразованиях должно оставаться неизменным. Комбинируя преобразования (1) и (2), можно получить наиболее общее преобразование, с помощью которого можно

преобразовывать уравнения механики, не изменяя их вида. Это преобразование описывается уравнением (3) и тремя уравнениями, с помощью которых координаты выражаются как линейные функции от при этом коэффициенты этих трех уравнений связаны между собой соотношениями, которые при тождественно удовлетворяют условию (1).

Рассмотрим теперь наиболее общие преобразования координат, совместимые с теорией относительности. Исходя из всего предыдущего, это преобразование характеризуется тем, что должны быть такими линейными функциями чтобы тождественно выполнялось условие

Необходимо отметить, что преобразования, совместимые с механикой Ньютона, немедленно получаются из соотношения если в нем положить Итак, следуя тем путем, которым мы шли раньше, можно получить уравнения обычной кинематики, если вместо принципа постоянства скорости света допустить существование сигналов, не требующих времени для своего распространения.

Группа преобразований, характеризующаяся условием содержит преобразования, соответствующие изменению ориентации системы. Это — преобразования, совместимые с условием

Наиболее простыми уравнениями, удовлетворяющими условию являются уравнения, для которых две из четырех координат не изменяются. Рассмотрим, например, преобразования, при которых и постоянны. В этом случае вместо общего условия мы имеем

Этому условию соответствует вращение системы вокруг оси X. Если же мы рассмотрим преобразования, при которых две пространственные координаты, например, у и остаются неизменными, то получим

вместо общего условия частные условия

Это — преобразования, которые мы встретили в предыдущем параграфе, рассматривая систему, равномерно движущуюся параллельно оси X другой неподвижной системы, расположенной таким же образом.

Бросается в глаза формальная аналогия между преобразованиями Обе системы уравнений отличаются только знаком в третьем условии. Но даже и это различие можно устранить, если здесь, следуя Минковскому, в качестве переменной вместо взять где есть . В этом случае мнимая временная координата будет входить в формулы преобразования симметрично с пространственными координатами. Если ввести обозначения

и рассматривать как координаты какой-либо точки четырехмерного пространства так, чтобы любому элементарному событию соответствовала одна точка этого пространства, то все, что происходит в физическом мире, сведется к статике в четырехмерном пространстве. В этом случае условие будет записываться в следующем виде:

Это условие будет соответствовать вращению без относительного поступательного движения четырехмерной системы координат.

Принцип относительности требует, чтобы законы физики не изменялись от вращения четырехмерной системы координат, к которой они отнесены. Четыре координаты должны входить в выражения законов природы симметрично. Для описания различных физических состояний можно пользоваться четырехмерными векторами,

которые входят в вычисления точно так же, как и обычные векторы трехмерного пространства.