§ 5. Теорема сложения скоростей

Пусть в системе к, движущейся со скоростью вдоль оси X системы К, движется точка согласно уравнениям

где и — постоянные.

Найдем движение точки относительно системы К. Если в уравнения движения точки с помощью выведенных в § 3 формул преобразования ввести величины х, у, z, t, то получим

Итак, закон параллелограмма скоростей в нашей теории верен только в первом приближении. Положим

тогда а надо рассматривать как угол между скоростями и После простого вычисления получается

Замечательно, что и входят симметрично в выражение для результирующей скорости. Если тоже имеет направление оси X (оси Е), то формула для принимает следующий вид:

Из этого уравнения следует, что результирующая скорость, получающаяся при сложении двух скоростей, которые меньше V, всегда меньше V. Положив где обе положительны и меньше V, имеем:

Далее следует, что скорость света V от сложения со скоростью, которая меньше скорости света, не может быть изменена. Для этого случая получается

В том случае, когда и имеют одинаковые направления, мы могли бы получить формулу для также путем последовательного применения двух преобразований из § 3. Если мы наряду с системами К и к, фигурирующими в § 3, введем еще третью координатную систему к, движущуюся параллельно системе к вдоль оси Н со скоростью то получим уравнения, которые связывают величины х, у, z, t с соответствующими величинами системы к. Они отличаются от найденных в § 3 только тем, что вместо стоит величина

Отсюда видно, что такие параллельные преобразования, как это и должно быть, образуют группу.

Таким образом, мы вывели необходимые нам положения кинематики, построенной в соответствии с нашими двумя принципами, и переходим теперь к тому, чтобы показать их применение в электродинамике.