§ 12. Энергия и количество движения движущейся системы

Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим свободно движущуюся в пространстве систему, окруженную непроницаемой для излучения оболочкой. Как и прежде, обозначим через и т.д. компоненты внешнего электромагнитного поля, благодаря которому данная система обменивается энергией с другими системами. С помощью метода, примененного при выводе формулы (15), для этого внешнего поля получаем

Предположим теперь, что закон сохранения количества движения всегда выполняется. Тогда та часть второго члена этого соотношения, в которой интегрирование производится по поверхности оболочки, должна представляться в виде производной по времени от величины полностью определяемой мгновенным состоянием системы; величину назовем -компонентой количества движения системы. Найдем теперь закон преобразования величины Применяя формулы преобразования (1) и в точности так же, как в предыдущих параграфах, получаем соотношение

или

Пусть теперь тело движется неускоренно так, что оно в течение продолжительного времени покоится относительно системы отсчета тогда снова

Несмотря на то, что пределы интегрирования по времени зависят от второй член в правой части равенства опять обращается в нуль, если тело не подвергается действию внешних сил до и после рассматриваемого изменения; в этом случае

Отсюда следует, что количество движения системы, не подверженной действию внешних сил, является функцией только двух переменных, а именно: энергии в системе отсчета, движущейся вместе с рассматриваемой системой, и скорости переносного движения. Очевидно,

Отсюда также следует, что

где — некоторая пока еще неизвестная функция

Поскольку есть не что иное, как количество движения в случае, когда оно определяется только скоростью, из формулы (156) следует

Таким образом, мы получаем

Эта формула отличается от формулы для количества движения материальной точки только тем, что заменяется на в согласии с результатом предыдущих параграфов.

Найдем теперь энергию и количество движения тела, покоящегося в системе отсчета при условии, что тело постоянно подвержено действию внешних сил. Хотя и в этом случае для любого

входящий в соотношения (16) и (18) интеграл

не обращается в нуль, поскольку его пределами являются определенные значения а не . Поскольку, согласно первому из уравнений (1), разрешенному относительно

пределы интегрирования по суть — причем не зависят от . Таким образом, пределы интегрирования по времени в системе отсчета зависят от положения точки приложения сил. Представим рассматриваемый интеграл в виде суммы трех интегралов:

Второй из этих интегралов обращается в нуль, поскольку его пределы интегрирования постоянны по времени. Далее, если силы меняются с произвольной быстротой, оба других интеграла нельзя вычислить; в этом случае в рамках применяемой здесь теории вообще нельзя говорить об энергии или количестве движения системы. Если же эти силы очень мало меняются в интервале времени порядка то можно положить

Заменяя аналогичным способом третий интеграл, получаем

Теперь из соотношений (16) и (18) можно без труда вычислить энергию и количество движения; находим

причем означает продольную составляющую силы, отнесенной к сопутствующей системе координат, — измеренное в той же системе расстояние точки приложения этой силы от плоскости, перпендикулярной направлению движения.

Если внешней силой, как мы будем предполагать в дальнейшем, является давление не зависящее от направления и действующее везде по нормали к поверхности системы, то, в частности,

где — объем системы, отнесенный к сопутствующей системе отсчета. В этом случае формулы (166) и (186) принимают вид