§ 3. Теория преобразования координат и времени от покоящейся системы к системе, равномерно и прямолинейно движущейся относительно первой

Пусть в «покоящемся» пространстве даны две координатные системы, каждая с тремя взаимно - перпендикулярными осями, выходящими из одной точки. Пусть оси X обеих систем совпадают, а оси Y и Z —

соответственно параллельны. Пусть каждая система снабжена масштабом и некоторым числом часов, и пусть оба масштаба и все часы в обеих системах в точности одинаковы.

Пусть теперь началу координат одной из этих систем сообщается (постоянная) скорость в направлении возрастающих значений другой, покоящейся системы (К); эта скорость передается также координатным осям, а также соответствующим масштабам и часам. Тогда каждому моменту времени покоящейся системы соответствует определенное положение осей движущейся системы, и мы из соображений симметрии вправе допустить, что движение системы к может быть таким, что оси движущейся системы в момент времени (через всегда будет обозначаться время покоящейся системы) будут параллельны осям покоящейся системы.

Представим себе теперь, что пространство размечено как в покоящейся системе К посредством покоящегося в ней масштаба, так и в движущейся системе к посредством движущегося с ней масштаба, и что, таким образом, получены координаты х, у, z и соответственно . Пусть посредством покоящихся часов, находящихся в покоящейся системе, и с помощью световых сигналов указанным в § 1 способом определяется время покоящейся системы для всех тех точек последней, в которых находятся часы. Пусть далее таким же образом определяется время движущейся системы для всех точек этой системы, в которых находятся покоящиеся относительно последней часы, указанным в § 1 способом световых сигналов между точками, в которых эти часы находятся.

Каждому набору значений х, у, z, t, которые полностью определяют место и время событий в покоящейся системе, соответствует набор значений устанавливающий это событие в системе к, и теперь необходимо найти систему уравнений, связывающих эти величины.

Прежде всего ясно, что эти уравнения должны быть линейными в силу свойства однородности, которое мы приписываем пространству и времени.

Если мы положим то ясно, что точке, покоящейся в системе к, будет принадлежать определенный, независимый от времени набор значений х, у, z. Сначала мы определим как функцию от х, у, z, t. Для этой цели мы должны выразить с помощью некоторых соотношений, что по своему смыслу есть не что иное, как совокупность показаний покоящихся в системе к часов, которые в соответствии с изложенным в § 1 правилом идут синхронно.

Пусть из начала координат системы к в момент времени то посылается луч света вдоль оси X в точку и отражается оттуда в момент времени назад, в начало координат, куда он приходит в момент времени тогда должно существовать соотношение

или, выписывая аргументы функции и применяя принцип постоянства скорости света в покоящейся системе, имеем

Если взять бесконечно малым, то отсюда следует:

или

Необходимо заметить, что мы могли бы вместо начала координат выбрать всякую другую точку в качестве отправной точки луча света, и поэтому только что полученное уравнение справедливо для всех значений

Если принять во внимание, что свет вдоль осей и при наблюдении из покоящейся системы всегда распространяется со скоростью то аналогичное рассуждение, примененное к этим осям, дает

Так как — линейная функция, то из этих уравнений следует

где а — неизвестная пока функция и ради краткости принято, что в начале координат системы к при также и

Пользуясь этим результатом, легко найти величины . С этой целью (как этого требует принцип постоянства скорости света в сочетании с принципом относительности) нужно с помощью уравнений выразить то обстоятельство, что свет при измерении в движущейся системе также распространяется со скоростью V. Для луча света, вышедшего в момент времени в направлении возрастающих , имеем

или

Но относительно начала координат системы к луч света при измерении, произведенном в покоящейся системе, движется со скоростью вследствие чего

Подставив это значение в уравнение для , получим

Рассматривая лучи, движущиеся вдоль двух других осей, находим

причем

следовательно,

Подставляя вместо его значение, получаем

где

— неизвестная пока функция от

Если не делать никаких предположений о начальном положении движущейся системы и о нулевой точке переменной то к правым частям этих уравнений необходимо приписать по одной аддитивной постоянной.

Теперь мы должны показать, что каждый луч света — при измерении в движущейся системе — распространяется со скоростью V, если это утверждение, согласно нашему допущению, справедливо в покоящейся системе; мы еще не доказали, что принцип постоянства скорости света совместим с принципом относительности.

Пусть в момент времени из общего в этот момент для обеих систем начала координат посылается сферическая волна, которая распространяется в системе К со скоростью V. Если (х, у, z) есть точка, в которую приходит эта волна, то мы имеем

Преобразуем это уравнение с помощью записанных выше формул преобразования; тогда получим

Итак, рассматриваемая волна, наблюдаемая в движущейся системе, также является шаровой волной, распространяющейся со скоростью V. Тем самым доказано, что наши два основных принципа совместимы.

Выведенные формулы преобразования содержат неизвестную функцию от которую мы теперь определим.

Для этой цели вводим еще одну, третью координатную систему К, которая относительно системы к совершает поступательное движение параллельно оси таким образом, что ее начало координат движется со скоростью —V по оси Н. Пусть в момент времени все три начала координат совпадают, и пусть при t = x = y = z = 0 время t в системе К равно 0. Пусть х, у, z суть координаты, измеренные в системе После двукратного применения наших формул преобразования получаем

Так как соотношения между и х, у, z не содержат времени то системы К и К находятся в покое относительно друг друга, и ясно, что преобразование из К в К должно быть тождественным преобразованием. Следовательно,

Выясним теперь физический смысл функции Для этого рассмотрим ту часть оси Н системы к, которая лежит между точками Эта часть оси Н представляет собой стержень, движущийся перпендикулярно своей оси со скоростью относительно системы К. Концы этого стержня в системе К имеют следующие координаты:

и

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе К, равна тем самым выяснен и физический смысл функции . В самом деле, из соображений симметрии теперь ясно, что измеренная в покоящейся системе длина некоторого стержня, движущегося перпендикулярно своей оси, может зависеть только от величины скорости, но не от ее направления и знака. Следовательно, длина движущегося стержня, измеренная в покоящейся системе, не изменяется, если заменить через — . Отсюда следует:

или

Из этого и найденного ранее соотношений следует, что так что найденные формулы преобразования переходят в следующие:

где