§ 9. Движение материальной точки и принципы механики

Умножая уравнения (5) и (6) по порядку на и интегрируя по объему, на границах которого напряженность электрического и магнитного полей равна нулю, получаем

где

есть электромагнитная энергия рассматриваемого объема. В соответствии с законом сохранения энергии первый член соотношения (13) соответствует энергии, передаваемой в единицу времени от электромагнитного поля носителям электрических зарядов. Если электрические заряды жестко связаны с материальной точкой (электроном), то падающая на них часть этой энергии дается выражением

где (X, Y, Z) означает напряженность внешнего электрического поля, т. е. поля за вычетом того, которое создается зарядом самого электрона. В силу уравнений (12) это выражение может быть записано в виде

Таким образом, вектор названный в предыдущем параграфе «силой», связан с совершаемой работой так же, как и сила в механике Ньютона.

Следовательно, если уравнения (11) умножить соответственно на х, у, z, сложить и проинтегрировать по времени, то в результате должны получить кинетическую энергию материальной точки (электрона). В самом деле,

Тем самым показано, что уравнения движения (11) удовлетворяют закону сохранения энергии. Покажем теперь, что они соответствуют также закону сохранения количества движения.

Умножая второе и третье из уравнений (5) и второе и третье из уравнений (6) соответственно на складывая и интегрируя по объему, на границах которого напряженность поля обращается в нуль, получаем

или, в соответствии с уравнениями (12),

Если электрические заряды прикреплены к движущейся материальной точке (электрону), это соотношение в силу уравнений (11) принимает вид

Это соотношение вместе с получаемыми из него путем циклической перестановки соотношениями выражает закон сохранения количества движения в рассматриваемом здесь случае. Следовательно, величина - играет роль количества движения материальной точки, и в соответствии с уравнениями (11), как и в классической механике, имеем

Возможность введения количества движения материальной точки основана на том, что силу в уравнениях движения, или второй член соотношения (15), можно представить в виде производной по времени.

Далее непосредственно видно, что нашим уравнениям движения материальной точки можно придать форму уравнений Лагранжа, ибо в соответствии с уравнениями (11)

причем здесь введено обозначение

Уравнения движения можно представить также в виде принципа Гамильтона

причем время начальное и конечное положения не варьируются; здесь А означает виртуальную работу

Наконец, составим также канонические уравнения движения (уравнения Гамильтона). Для этого надо ввести «импульсные переменные» (составляющие количества движения) , причем, как и выше,

Если кинетическую энергию рассматривать как функцию и ввести обозначение то получим

и уравнения Гамильтона примут вид