§ 3. Преобразования координат и времени

Пусть и суть равноценные системы отсчета, т.е. пусть эти системы обладают единичными масштабами одинаковой длины и одинаково идущими часами при условии, что масштабы и часы сравниваются друг с другом в состоянии относительного покоя. Тогда очевидно, что любой закон природы, действующий в системе отсчета справедлив в точно такой же форме и в системе если и находятся в относительном покое. Принцип относительности требует, чтобы это полное совпадение законов распространялось также на случай, когда движется равномерно и прямолинейно относительно . В частности, скорость света в пустоте по отношению к обеим системам должна выражаться одним и тем же числом.

Пусть точечное событие определяется относительно переменными и относительно — переменными причем и движутся относительно друг друга без ускорения. Найдем уравнения, связывающие между собой указанные переменные.

Можно сразу сказать, что эти уравнения должны быть линейными по отношению к указанным переменным, поскольку этого требуют свойства однородности пространства и времени. Отсюда, в частности, следует, что координатные плоскости системы отнесенные к системе движутся равномерно; однако в общем случае эти плоскости не перпендикулярны друг другу. Если же выбрать положение оси так, чтобы ее направление относительно совпадало с направлением движения то из соображений симметрии следует, что координатные плоскости системы отнесенные к системе должны быть перпендикулярными друг другу. В частности, можно выбрать обе системы координат так, чтобы ось системы и ось системы совпадали и чтобы отнесенная к ось у системы была параллельна оси у системы Далее выберем за начало отсчета времени в обеих системах момент, когда начала координат совпадают; тогда искомые линейные уравнения преобразований будут однородными.

Из известного теперь положения координатных плоскостей системы относительно непосредственно вытекает, что каждые из следующих уравнений попарно эквивалентны:

Следовательно, три искомых формулы преобразований должны иметь вид

Поскольку скорость распространения света в пустоте относительно обеих систем координат равна с, уравнения

должны быть эквивалентными.

Отсюда и из только что найденных выражений для после простых вычислений заключаем, что искомые формулы преобразования должны иметь вид

При этом введено обозначение

Определим теперь оставшуюся пока неизвестной функцию Вводя третью систему отсчета эквивалентную и которая движется относительно со скоростью и ориентирована относительно так же, как относительно после двукратного применения

только что полученных формул получаем

Поскольку начала координат систем и всегда совпадают, оси одинаково ориентированы и системы «эквивалентны», это преобразование тождественно, так что

Далее, поскольку соотношение между у и у не может зависеть от знака

Следовательно и формулы преобразования приобретают

причем

Разрешая соотношения (1) относительно нетрудно получить соотношения, отличающиеся только тем, что в них «штрихованные» величины заменены одноименными «нештрихованными» и наоборот, а вместо стоит Это следует непосредственно из принципа относительности и из того, что система движется равномерно относительно в направлении оси со скоростью

Вообще, в соответствии с принципом относительности, из каждого правильного соотношения между «штрихованными» (определенными

относительно и «нештрихованными» (определенными относительно величинами или величинами только одного из этих классов опять можно получить правильное соотношение, заменяя нештрихованные величины соответствующими штрихованными и наоборот, на