§ 2. Тепловое равновесие излучений

Мы приступаем к обсуждению более сложной и интересной теоремы, суть которой состоит в следующем. Предположим, что у нас имеется заряженный осциллятор, вроде того, о котором мы говорили, когда речь шла о свете. Пусть это будет электрон, колеблющийся в атоме вверх и вниз. А раз он колеблется, то излучает свет. Предположим теперь, что этот осциллятор попал в сильно разреженный газ, состоящий из других атомов, и время от времени эти атомы с ним сталкиваются. Когда в конце концов наступит равновесие, осциллятор приобретает такую энергию, что кинетическая энергия колебаний будет равна , а поскольку это гармонический осциллятор, то полная энергия движения станет равной .

Это, конечно, неверно, потому что осциллятор несет электрический заряд, а поскольку он обладает энергией , то, качаясь вверх и вниз, он излучает свет. Поэтому невозможно получить равновесие только самого вещества без того, чтобы заряды не излучали свет, а когда свет излучается, утекает энергия, осциллятор со временем растрачивает энергию , а окружающий газ, сталкивающийся с осциллятором, постепенно остывает. Именно таким образом остывает за ночь натопленная с вечера печка, выпуская все тепло на воздух. Прыгающие в ее кирпичах атомы заряжены и непрерывно излучают, а в результате этого излучения танец атомов постепенно замедляется.

Но если заключить все атомы и осцилляторы в ящик, так чтобы свет не смог уйти в бесконечность, тепловое равновесие может наступить. Мы можем поместить газ в ящик, в стенках которого есть и другие излучатели, испускающие свет внутрь ящика, а еще лучше соорудить ящик с зеркальными стенками. Этот пример поможет лучше понять, что произойдет. Итак, мы предполагаем, что все излучение от осциллятора остается внутри ящика. Осциллятор и в этом случае начинает излучать, но довольно скоро он все же соберет свое значение  кинетической энергии. Происходит это потому, что сам осциллятор будет освещаться, так сказать, собственным светом, отраженным от стенок ящика. Вскоре в ящике будет много света и, хотя осциллятор продолжает излучать, часть света будет возвращаться и возмещать осциллятору потерянную им энергию.

А теперь подсчитаем, насколько должен быть освещен ящик при температуре , чтобы рассеяние света на осцилляторе обеспечивало его как раз такой энергией, какая нужна для поддержания излучения. Пусть атомов в ящике совсем немного и находятся они далеко друг от друга, так что наш осциллятор идеальный, не имеющий иного трения, кроме радиационного. Теперь заметим, что при тепловом равновесии осциллятор делает сразу два дела. Во-первых, он излучает, и мы можем подсчитать энергию излучения. Во-вторых, он в возмещение получает точно такое же количество энергии в результате рассеяния на нем света. Поскольку энергия ниоткуда больше притечь не может, то эффективное излучение - это как раз та часть «общего света», которая рассеялась на осцилляторе.

Таким образом, прежде всего мы вычисляем энергию, излучаемую в 1 сек осциллятором с заданной энергией. (Мы позаимствуем для этого в гл. 32, посвященной радиационному трению, несколько равенств и не будем здесь приводить их выводы.) Отношение энергии, излученной за радиан, к энергии осциллятора называется  [см. уравнение (32.8)]: . Используя величину  (постоянную затухания), можно записать это в виде , где  - собственная частота осциллятора, если  очень мала, a  очень велико. Излученная за 1 сек энергия равна

.              (41.4)

Излученная за 1 сек энергия просто равна произведению  на энергию осциллятора. Средняя энергия нашего осциллятора равна , поэтому произведение  на  - это среднее значение излученной за 1 сек энергии:

.                        (41.5)

Теперь нам нужно только узнать, что такое . Эту величину легко найти из уравнения (32.12):

,                   (41.6)

где  - классический радиус электрона, и мы положили .

Окончательный результат для средней скорости излучения света вблизи частоты  таков:

.                  (41.7)

Теперь надо выяснить, сильно ли должен быть освещен осциллятор. Освещение должно быть таким, чтобы поглощенная осциллятором энергия (и впоследствии рассеянная) была в точности равна предыдущей величине. Иначе говоря, излученный свет - это свет, рассеянный при освещении осциллятором в полости. Итак, нам остается рассчитать, сколько света рассеивается осциллятором, если на него падает какая-то - неизвестная - доза излучения. Пусть  - энергия света частоты  в интервале частот  (ведь у нас нет света точно заданной частоты; излучение распределено по спектру). Таким образом,  - это спектральное распределение, которое нам надо найти. Это тот цвет огня, который мы увидим внутри печи при температуре , если откроем дверцу и заглянем внутрь. Сколько же все-таки света поглотится? Мы уже определяли количество излучения, поглощаемого из заданного падающего пучка света, и выразили его через эффективное сечение. Это соответствует тому, как если бы мы предполагали, что весь свет, падающий на площадку определенной площади, поглощается. Таким образом, полная переизлученная (рассеянная) интенсивность равна произведению интенсивности падающего света  на эффективное сечение .

Мы вывели формулу для эффективного сечения [см. уравнение (31.19)], не включающую затухания. Нетрудно повторить этот вывод снова и учесть трение, которым мы тогда пренебрегли. Если это сделать, то, вычисляя эффективное сечение по прежнему образцу, мы получим

.                 (41.8)

Пойдем дальше;  как функция частоты имеет более или менее заметную величину только для  около собственной частоты . (Вспомним, что для излучающего осциллятора  - порядка .) Когда  равна , осциллятор рассеивает очень сильно, а при других значениях  он почти не рассеивает совсем. Поэтому можно заменить  на , а  на ; тогда

.               (41.9)

Теперь почти вся кривая загнана в область около . (Фактически мы не должны делать никаких приближений, но легче иметь дело с интегралом, в котором подынтегральное выражение несколько проще.) Если умножить интенсивность в данном интервале частот на эффективное сечение рассеяния, то получится энергия, рассеянная в интервале . Полная рассеянная энергия - это интеграл по всем . Таким образом,

.             (41.10)

Теперь мы положим . Но почему здесь стоит 3? Потому что в гл. 32 мы предполагали, что свет поляризован так, что может раскачивать осциллятор. Если бы мы использовали осциллятор, способный раскачиваться только в одном направлении, а свет был бы, скажем, поляризован неверно, то он не рассеивался бы совсем. Поэтому мы должны либо усреднить эффективное сечение рассеяния на осцилляторе, способном раскачиваться только в одном направлении, по всем направлениям падающих пучков и поляризации света в пучке, либо, что легче сделать, представить себе, что наш осциллятор послушно следует за полем, каким бы оно ни было там, где он находится. Такой осциллятор, который одинаково легко раскачивается в любом из трех направлений, имеет среднюю энергию , потому что у него 3 степени свободы. А раз 3 степени свободы, то надо писать .

Займемся теперь интегралом. Предположим, что неизвестное спектральное распределение света  - это плавная кривая, которая в той узкой области частот, где  имеет острый максимум, меняется не слишком сильно (фиг. 41.3). Тогда сколько-нибудь существенный вклад в интеграл дают только частоты, близкие к  и отстоящие от нее на очень малую величину . Поэтому, хотя  неизвестная и, может быть, сложная функция, важно только ее поведение около  и можно заменить плавную кривую еще более ровной - «постоянной» - всюду одной высоты. Иначе говоря, мы просто вынесем  из-под знака интеграла и назовем это . Вынесем за интеграл и остальные постоянные и тогда получим

.              (41.11)

Интеграл берется от 0 до , но 0 отстоит так далеко от , что кривая за это время идет почти вдоль оси абсцисс, поэтому заменим 0 на , разница небольшая, а интеграл взять легче.

Интеграл вида  приводит к арктангенсу. Если взглянуть в справочник, то мы увидим, что он равен . Итак, для нашего случая это . После небольших манипуляций мы получаем

.                (41.12)

Затем мы подставим сюда формулу (41.6) для  (мы уже не будем стараться писать ; раз это верно для любой , то можно назвать ее просто ), и формула для  примет вид

.                       (41.13)

Она и определяет распределение света в горячей печке. Это так называемое излучение абсолютно черного тела. Черного потому, что, если заглянуть в топку печки при абсолютном нуле, она будет черной.

Фиг. 41.3. Сомножители подинтегрального выражения (41.10).

Пик - это резонансная кривая . Множитель  можно с хорошим приближением заменить на .

Формула (41.13) задает распределение энергии излучения внутри ящика при температуре  согласно классической теории. Отметим сначала замечательную особенность этого выражения. Заряд осциллятора, масса осциллятора, все частные его свойства выпали из формулы; ведь если мы достигли равновесия с одним осциллятором, мы должны позаботиться о равновесии и с любым другим осциллятором другой массы, иначе будут неприятности. Таким образом, это важный способ проверки нашей теоремы о том, что равновесие зависит только от температуры, а не от того, что приводит к равновесию. Теперь можно начертить кривую  (фиг. 41.4). Она покажет нам, какова освещенность при разных частотах.

Фиг. 41.4. Распределение интенсивности излучения черного тела при двух температурах.

Сплошные кривые - согласно классической теории; пунктирные – настоящее распределение. 1 - радио; 2 - инфракрасное; 3 - видимое; 4 – ультрафиолетовое; 5 - рентгеновские лучи.

В выражение для интенсивности в ящике на единицу частоты входит, как видно, квадрат частоты; это значит, что если взять ящик при любой температуре, то в нем обнаружится бездна рентгеновских лучей!

Мы знаем, конечно, что это неверно. Когда мы открываем печку и заглядываем в нее, мы не портим глаз рентгеновскими лучами. Дальше - хуже, полная энергия ящика, полная интенсивность, просуммированная по всем частотам, должна быть площадью под этой уходящей в бесконечность кривой. Итак, здесь что-то совсем неверно в самой основе.

Это значит, что классическая теория совершенно непригодна для правильного описания распределения излучения черного тела, так же как и для описания теплоемкостей газов. Физики ходили вокруг этого вывода, рассматривали его с различных точек зрения и не нашли выхода. Это предсказание классической физики. Уравнение (41.13) называется законом Рэлея, предсказано оно классической физикой и до очевидности абсурдно.