Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Давление газаКаждый знает, что газ оказывает давление. Но отчего? В этом надо разобраться как следует. Если бы наши уши были намного чувствительнее, чем они есть на самом деле, мы бы все время слышали страшный шум. Но природа позаботилась, чтобы наши уши не были столь восприимчивы, ведь они оказались бы для нас совершенно бесполезными - в них постоянно стоял бы дикий гул, похожий на шум от стартующей ракеты. Дело в том, что барабанные перепонки наших ушей соприкасаются с воздухом, а воздух состоит из великого множества беспорядочно движущихся молекул, которые, ударяясь о барабанные перепонки, создают такой шум, как будто сразу очень много барабанщиков отбивают беспорядочную дробь - бум, бум, бум... Однако мы не слышим этих звуков, потому что атомы очень малы, а уши наши недостаточно чувствительны. Беспорядочные удары молекул должны были бы собственно продавить барабанную перепонку, но ее непрестанно бомбардируют и с внутренней стороны, и в результате полная сила, действующая на перепонку, оказывается равной нулю. Если бы откачать воздух с одной стороны или хотя бы сделать разным его относительное количество с обеих сторон, то перепонка продавилась бы в ту или иную сторону, потому что бомбардировка с одной стороны оказалась бы гораздо сильнее. Мы иногда испытываем это неприятное ощущение, когда очень быстро поднимаемся в лифте или на самолете, а хуже всего, если мы еще при этом простужены (в этом случае распухшая слизистая оболочка закрывает каналы, соединяющие через носоглотку внутреннюю полость уха с внешним пространством, и таким образом оба давления не могут быстро уравняться.)
Чтобы
проанализировать это явление количественно, предположим, что газ находится в
ящике, одна стенка которого представляет собой поршень, способный перемещаться
(фиг. 39.1). Найдем силу, с которой действуют на поршень находящиеся внутри
ящика атомы. О поршень ударяются атомы, движущиеся внутри объема
Чтобы
лучше понять, для чего это делается, подсчитаем бесконечно малую работу
(Произведение
площади
Фиг. 39. 1. Атомы газа в ящике, в котором движется поршень без трения. Итак, с какой силой надо давить на поршень, чтобы уравновесить удары молекул? При каждом ударе поршню сообщается некий импульс. В каждую секунду поршень получает определенный импульс и начинает двигаться. Чтобы предотвратить это, приложенная нами сила за секунду должна сообщить поршню точно такой же импульс. Таким образом, сила равна импульсу, сообщенному поршню за 1 сек. Можно об этом сказать и иначе: если предоставить поршень самому себе, то он за счет бомбардировки наберет скорость и с каждым ударом будет подталкиваться и двигаться с ускорением. Быстрота изменения скорости поршня, или ускорение, пропорциональна действующей силе. Таким образом, сила, которую мы определили как произведение давления на площадь, равна импульсу, сообщенному поршню за 1 сек всеми молекулами внутри ящика. Подсчитать импульс, передаваемый поршню за 1 сек, легко; мы сделаем это в два этапа: сначала определим импульс, переданный одним атомом при столкновении с поршнем, а потом умножим эту величину на число соударений атомов с поршнем за 1 сек. Сила и будет произведением этих двух величин. Займемся теперь этими величинами: предположим сначала, что поршень - это идеальный «отражатель» атомов. Если это не так, то вся наша теория рухнет - поршень начнет нагреваться и произойдет много всяких событий, предсказать которые мы не в состоянии. Однако, когда снова установится равновесие, в результате окажется, что каждое столкновение будет эффективно упругим. В среднем энергия приходящих и уходящих частиц не изменяется. Таким образом, предположим, что газ находится в равновесии и поршень, будучи неподвижным, энергии не поглощает. В этом случае частица, подлетевшая к поршню с определенной скоростью, улетит от него с той же скоростью, причем масса частицы не изменится. Если
Нужно
теперь подсчитать число соударений атома за 1 сек; для этого можно взять любой
промежуток времени Итак, мы нашли, что сила равна
Обратите внимание, что если фиксировать плотность частиц, то сила оказывается пропорциональной площади! После этого давление найти очень просто:
Теперь
надо исправить кое-какие неточности: прежде всего не все молекулы имеют одну и
ту же скорость и не все они движутся в одном направлении, так что нам
приходится иметь дело с разными
А
не забыли ли мы множитель 2? Нет, потому что лишь половина атомов движется к
поршню. Другие летят в противоположную сторону, а усредняя по Если
просто усреднить по Но
атомы прыгают в ящике как хотят, и поэтому ясно, что «
Используем это обстоятельство для небольшого математического трюка и обнаружим, что каждый из членов в (39.6) равен их сумме, деленной на три, а сумма - это квадрат величины скорости:
Это очень хорошо, потому что теперь уже не надо заботиться о координатных осях, и формулу для давления можно записать в виде
Мы
выделили множитель
Если мы будем знать скорость молекул, то очень быстро подсчитаем давление. В
качестве простого примера можно описать такие газы, как гелий, пары ртути или
калия при достаточно высокой температуре или аргон; это одноатомные газы, для
которых можно считать, что их атомы не имеют внутренних степеней свободы. Если
нам попадется сложная молекула, то в ней могут быть всевозможные внутренние
движения, всякого рода колебания и т. д. Мы предполагаем, что можно не
принимать их в расчет; но можно ли это делать - вопрос сложный и мы к нему
вернемся; в действительности для нашего случая это окажется допустимым. Итак,
предположим, что внутреннее движение атомов можно не рассматривать, и поэтому
кинетическая энергия движения молекулы как целого восполняет всю энергию. Для
одноатомного газа кинетическая энергия - действительно полная энергия. Будем
обозначать полную энергию буквой В
случае одноатомного газа мы предположим, что полная энергия
Немного
задержимся и ответим на такой вопрос: предположим, что мы медленно сжимаем газ;
каким должно быть давление, чтобы сжать газ до заданного объема? Определить это
легко, так как давление есть энергия, деленная на объем. Но когда газ
сжимается, производится работа и поэтому энергия газа Итак, нам предстоит решить дифференциальное уравнение. Сейчас мы это сделаем. Однако подчеркнем сначала, что, сжимая газ, мы предполагаем, что вся работа уходит на увеличение энергии атомов газа. Вы спросите: «А необходимо ли на этом останавливаться? Куда же еще она может уйти?» Но оказывается, что затраченная работа может уйти и в другое место. Энергия может «вытечь» из ящика сквозь стенки: горячие (т. е. очень быстрые) атомы при бомбардировке будут нагревать стенки ящика и энергия выйдет наружу. Но мы предполагаем, что в нашем случае этого не происходит. Сделаем
небольшое обобщение, хотя и в этом случае мы будем рассматривать лишь очень
частный случай: запишем вместо
Энергия
Мы
уже говорили, что совершаемая при сжатии газа работа равна
Итак,
Если
мы примем, что
Иначе
говоря, если выполнены условия адиабатичности, т. е. потерь энергии нет и газ
при сжатии нагревается, то в случае одноатомного газа произведение объема на
давление в степени
|
1 |
Оглавление
|