Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Молекулярная диффузияПерейдем к другой задаче, для которой нам придется несколько изменить метод анализа, - к задаче о диффузии. Предположим, что мы взяли ящик, заполненный газом, находящимся в тепловом равновесии, а потом в любое место внутри ящика вспрыснули небольшое количество другого газа. Назовем первоначальный газ газом «фона», а новый газ - «особым» газом. Особый газ начинает распространяться по всему ящику, но распространение это замедляется наличием молекул фона. Явление такого замедленного распространения называется диффузией. Диффузия в основном определяется столкновениями молекул особого газа с молекулами фона. После многих столкновений особые молекулы более или менее равномерно распределятся по всему ящику. Важно не спутать диффузию газа с переносом больших количеств вещества в результате конвекционных токов. Обычно смешение двух газов происходит именно в результате комбинации конвекции и диффузии. Сейчас нас интересует только такое перемешивание, которое не сопровождается «порывами ветра». Газ распространяется только благодаря молекулярному движению, т. е. происходит диффузия. Давайте выясним, быстро ли происходит диффузия.
Итак,
мы приступаем к вычислению общего потока молекул особого газа, порождаемого
молекулярным движением. Общий поток не равен нулю только тогда, когда
распределение молекул отличается от равновесного, иначе усреднение
молекулярного движения сводит общий поток к нулю. Рассмотрим сначала поток в
направлении оси Мы
упростим наши выкладки, если возьмем площадку единичной площади. Тогда число
особых молекул, пересекающих площадку слева направо (справа от площадки лежат
положительные
или
А
что понимать под Распределение
особых молекул в ящике удобно описывать с помощью непрерывной функции
Подставляя этот результат в (43.22) и пренебрегая множителем 2, получаем
Мы выяснили, что поток особых молекул пропорционален производной плотности, или, как иногда говорят, «градиенту плотности». Ясно,
что мы сделали несколько грубых приближений. Не говоря уже о том, что мы
постоянно забывали о множителях, мы использовали
Аналогичные
уравнения можно написать для токов вдоль С
помощью макроскопических наблюдений можно измерить ток
Мы
смогли показать, что ожидаемое значение коэффициента
Пока
мы изучили в этой главе два разных процесса: подвижность (дрейф молекул под
действием «внешней» силы) и диффузию (разбегание молекул, определяемое только
внутренними силами, случайными столкновениями). Однако эти процессы связаны
друг с другом, потому что в основе обоих явлений лежит тепловое движение, и оба
раза в расчетах появлялась длина свободного пробега Если
в уравнение (43.25) подставить
Но
так что
Таким
образом,
Оказывается, что (43.31) - это точное соотношение между коэффициентами. Хотя мы исходили из очень грубых предположений, ненужно к нему добавлять никаких дополнительных множителей. Можно показать, что (43.31) в самом деле всегда удовлетворяется точно. Это верно даже в очень сложных случаях (например, для случая взвешенных в жидкости мелких частиц), когда наши простые вычисления явно отказываются служить. Чтобы
показать, что (43.31) верно в самых общих случаях, мы выведем его иначе,
используя только основные принципы статистической механики. Представьте себе,
что почему-то существует градиент «особых» молекул и возник ток диффузии,
пропорциональный, согласно (43.26), градиенту плотности. Тогда мы создадим в
направлении оси
Используя обычные аргументы, можно найти ток дрейфа (общее число молекул, пересекающих единичную площадку за единицу времени):
или
А
теперь можно так распорядиться силой
В этом случае «компенсации» существует постоянный (во времени) градиент плотности, равный
Теперь
уже легко соображать дальше! Ведь мы добились равновесия и можем теперь
применять наши равновесные законы статистической механики. По этим законам
вероятность найти молекулу около точки
Дифференцируя
(43.37) по
или
В
нашем случае сила
[Это
в точности уравнение (40.2), из которого мы и вывели
|
1 |
Оглавление
|