§ 5. Амплитуда вероятности частиц

Рассмотрим еще один необычайно интересный пример фазовой скорости. Он относится к области квантовой механики. Известно, что амплитуда вероятности найти частицу в данном месте изменяется при некоторых обстоятельствах в пространстве и времени (давайте возьмем одно измерение) следующим образом:

,                       (48.19)

где  - частота, связанная с классической энергией, , а  - волновое число, которое связано с импульсом соотношением . Мы говорим, что частица имеет определенный импульс , если волновое число в точности равно , т. е. если бежит идеальная волна повсюду с одинаковой амплитудой. Выражение (48.19) дает амплитуду вероятности, но если мы возьмем квадрат абсолютной величины, то получим относительную вероятность обнаружения частицы как функцию положения и времени. В данном случае она равна постоянной, что означает вероятность обнаружить частицу в любом месте. Рассмотрим теперь такой случай, когда известно, что обнаружить частицу в каком-то месте более вероятно, чем в других местах. Подобную картину мы описываем волной, которая имеет максимум в данном месте и сходит на нет по мере удаления в стороны (фиг. 48.6). (Это не то же самое, что изображено на фиг. 48.1, где волна имеет целый ряд максимумов, но сними вполне можно расправиться, сложив несколько волн с приблизительно одинаковыми значениями  и . Таким способом можно избавиться от всех максимумов, кроме одного.)

Фиг. 48.6. Локализованный волновой пакет.

При этих обстоятельствах, поскольку квадрат выражения (48.19) представляет вероятность найти частицу в некотором месте, мы знаем, что в данный момент больше шансов найти частицу вблизи центра «колокола», где амплитуда максимальна.

Если подождать немного, то волна передвинется, и по прошествии некоторого промежутка времени «колокол» перейдет в какое-то другое место. Зная, что частица вначале где-то была расположена, мы ожидали бы, согласно классической механике, что она будет где-то и позднее, ведь есть же у нее скорость и импульс в конце концов. При этом квантовая теория дает в пределе правильные классические соотношения между энергией, импульсом и скоростью, если только групповая скорость, скорость модуляции, будет равна скорости классической частицы с тем же самым импульсом.

Сейчас необходимо показать, так ли это на самом деле или нет. Согласно классической теории, энергия связана со скоростью уравнением

.              (48.20)

Точно таким же образом импульс равен

.              (48.21)

Как следствие отсюда после исключения  получается

,

т. е. . Это величайший результат четырехмерья, о котором мы уже говорили много раз, устанавливающий связь между энергией и импульсом в классической теории. Теперь же, поскольку мы собираемся заменить  и  на  и  с помощью подстановки  и , он означает, что в квантовой механике должна существовать связь

.            (48.22)

Таким образом, возникло соотношение между частотой и волновым числом квантовомеханической амплитуды, описывающей частицу с массой . Из этого уравнения можно получить

,

т. е. фазовая скорость  снова больше скорости света!

Рассмотрим теперь групповую скорость. Она должна быть равна скорости, с которой движется модуляция, т. е. . Чтобы найти ее, нужно продифференцировать квадратный корень; это дело нехитрое. Производная равна

.

Но входящий сюда квадратный корень есть попросту , так что эту формулу можно записать в виде . Далее, так как  равно , то

.

Но, согласно (48.20) и (48.21),  равно  - скорости частицы в классической механике. Таким образом видно, что, принимая во внимание основные квантовомеханические соотношения  и , определяющие  и  через классические величины  и  и дающие только уравнение , теперь можно понять также соотношения (48.20) и (48.21), связывающие  и  со скоростью. Групповая скорость, разумеется, должна быть скоростью частиц, если эта интерпретация вообще имеет какой-либо смысл. Пусть в какой-то момент, как мы полагаем, частица находится в одном месте, а затем, скажем через 10 минут, - в другом. Тогда, согласно квантовой механике, расстояние, пройденное «колоколом», разделенное на интервал времени, должно равняться классической скорости частицы.