Главная > Фейнмановские лекции по физике: Т.4 Кинетика. Теплота. Звук
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде . Посмотрим теперь, является ли  решением волнового уравнения. Вычисляя , получаем производную функции . Дифференцируя еще раз, находим

.                 (47.15)

Дифференцируя эту же функцию  по , получаем значение , умноженное на производную, или ; вторая производная по времени дает

.              (47.16)

Очевидно, что  удовлетворяет волновому уравнению, если  равно .

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью  и, кроме того,

;

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных , т. е. звуковое возмущение вида  также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке , но знак  не зависит от выбора  или , потому что в эту производную входит только . Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью .

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем . Это значит, что вторая производная  по  равна второй производной  по , умноженной на . И пусть есть второе решение , обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается

.             (47.17)

Теперь мы хотим удостовериться, что  тоже представляет некую волну, т. е.  тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

              (47.18)

и вдобавок

.             (47.19)

Отсюда следует, что , так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по .

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси  и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси , тоже удовлетворяет волновому уравнению

,                  (47.20)

где  - скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.

 

1
Оглавление
email@scask.ru