§ 3. Волновое уравнение

Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:

I. Газ движется, и плотность его меняется.

II. При изменении плотности меняется и давление.

III. Неравномерное распределение давления вызывает движение газа.

Рассмотрим сначала свойство II. Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением  и плотностью . Давление  зависит от плотности среды: , и в частности равновесное давление . Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление удобно измерять в барах . Давление в одну стандартную атмосферу приблизительно равно 1 бар . Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как восприятие уха, грубо говоря, растет логарифмически. В этой децибельной шкале уровень звукового давления  связан с амплитудой звукового давления:

 дб,                      (47.1)

где давление отнесено к некоторому стандартному давлению .

Звуковое давление  соответствует довольно сильному звуку в 60 дб. Мы видим, что давление меняется в звуковой волне на очень малую величину по сравнению с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может превышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дб встречается редко; уровень силы звука в 120 дб уже вызывает боль в ушах. Поэтому, написав для звуковой волны

,    ,               (47.2)

можно считать, что изменение давления  очень мало по сравнению с , а изменение плотности  очень мало по сравнению с . Тогда

,             (47.3)

где  и  - производная от , взятая при значении . Второе равенство здесь возможно только потому, что  очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление  пропорционально избыточной плотности ; коэффициент пропорциональности обозначается через :

(II) , где .                 (47.4)

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства II.

Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть , а звук смещает его в момент времени  на величину , так что его новое положение есть , как показано на фиг. 47.3. Далее, положение соседнего элемента объема есть , и его смещенное положение есть . Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси , т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале , есть , где  - невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная звуковой волной, будет находиться теперь между  и , причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале  до прихода волны. Если через  обозначить новую плотность, то

.                    (47.5)

Поскольку  мало, можно написать . Здесь уже появляется частная производная, потому что  зависит и от , и от времени. Наше уравнение принимает вид

,                    (47.6)

или

.                        (47.7)

Но в звуковой волне все изменения малы, так что  мало,  мало и  тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

,                       (47.8)

можно пренебречь  по сравнению с . Так мы приходим к соотношению, которое требовалось согласно свойству I:

(I)                .                  (47.9)

Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных , плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если смещение  растет с ростом , так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.

Фиг. 47.3. Смещение воздуха в точке  есть , а в точке  равно .

Первоначальный объем, приходящий на единицу площади в плоской звуковой волне, есть , а окончательный объем равен .

Теперь нам нужно найти третье уравнение - уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотношение между силой и давлением, можно получить уравнение движения. Возьмем объем воздуха толщиной  и с единичной площадью грани, перпендикулярной , тогда масса воздуха в этом объеме есть , а ускорение воздуха есть , так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть . (Если  мало, то безразлично, где брать ускорение - на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единичную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси , должна быть равна . В точке  мы имеем силу , действующую на единицу площади в направлении , а в точке  возникает сила в обратном направлении, по величине равная  (фиг. 47.4):

.            (47.10)

Мы учли, что  мало и что только избыточное давление  меняется в зависимости от . Итак, согласно свойству III мы получаем

(III)                 .                    (47.11)

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем . Можно выразить  в (47.11) с помощью (47.4):

,                 (47.12)

а затем исключить  с помощью (I). Тогда  сократится и у нас останется

.                       (47.13)

Обозначим , тогда можно написать

.                      (47.14)

Это и есть волновое уравнение, которое описывает распространение звука в среде.

Фиг. 47.4. Результирующая сила в направлении оси , возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси , есть .