§ 2. Средняя длина свободного пробега

Есть еще возможность описать столкновения молекул, не вводя для этого времени между столкновениями. Можно определить, далеко ли успеет уйти частица между столкновениями. Если мы знаем, что среднее время между столкновениями равно , а средняя скорость молекул равна , то очевидно, что среднее расстояние между столкновениями, которое мы обозначим буквой , равно произведению  и . Это расстояние между столкновениями обычно называют длиной свободного пробега:

Длина свободного пробега .              (43.9)

В этой главе мы не будем уточнять, какого рода среднее мы имеем в виду в каждом случае. Существующие разные средние - среднее, корень из среднего квадрата и т. д. - приблизительно равны и отличаются только множителями, близкими к единице. Поскольку для получения правильных множителей необходим подробный анализ, нам нет смысла очень уж стараться уточнять, какое именно среднее используется в том или ином случае. Мы хотим еще предупредить читателей, что используемые для обозначения физических величин алгебраические символы (например,  для длины свободного пробега) не являются общепринятыми просто потому, что об этом никто еще специально не договаривался.

Вероятность того, что молекула испытает столкновение, пройдя расстояние , равна , как вероятность столкновения за короткий промежуток времени  равна . Призвав на помощь те же аргументы, что и раньше, читатель сможет показать, что вероятность того, что молекула пройдет по крайней мере расстояние , прежде чем испытает следующее столкновение, равна .

Среднее расстояние, которое молекула проходит между столкновениями (длина свободного пробега ), зависит от количества молекул, ее окружающих, и от того, какого «размера» эти молекулы, т. е. от того, насколько уязвимую мишень представляют они собой. «Размеры» мишени при столкновениях обычно описывают при помощи «эффективного сечения столкновений»; эта же идея используется и в ядерной физике или в задачах о рассеянии света.

Рассмотрим движущуюся частицу, которая проходит расстояние  внутри газа, содержащего  рассеивателей (молекул) в единичном объеме (фиг. 43.1). На каждой площадке единичной площади, перпендикулярной к направлению движения выбранной нами частицы, имеется  молекул. Если каждая может быть представлена эффективной площадью столкновения, или, как обычно говорят, «эффективным сечением столкновения» , то полная площадь, покрываемая рассеивателями, равна .

Фиг. 43.1. Эффективное сечение столкновения.

Под «эффективным сечением столкновения» понимается площадь, в которую должен попасть центр частицы, если она должна столкнуться с заданной молекулой. Если молекулы выглядят как маленькие шарики (классическая картина), то следует ожидать, что , где  и  - радиусы двух сталкивающихся молекул. Вероятность того, что наша частица столкнется с какой-нибудь молекулой, равна отношению площади, покрываемой рассеивающими молекулами, к полной площади, принятой нами за единицу. Таким образом, вероятность столкновения на пути  равна :

Вероятность столкновения на пути .              (43.10)

Мы уже отметили раньше, что вероятность столкновения на пути  может быть записана в терминах длины свободного пробега  как . Сравнивая это с (43.10), можно связать длину свободного пробега с эффективным сечением столкновения:

.                    (43.11)

Это равенство легче запомнить, если записать его так:

.                   (43.12)

Эта формула говорит, что если частица проходит путь  внутрь рассеивателя, в котором молекулы могут как раз покрыть всю площадь, то в среднем происходит одно столкновение. В цилиндре высотой , поставленном на основание единичной площади, содержится  рассеивателей; если каждый из них занимает площадь , то полная площадь, покрытая ими, равна , а это как раз единичная площадь. Конечно, молекулы не покрывают всей площади целиком, потому что часть молекул прячется за соседние молекулы. Поэтому некоторые молекулы пройдут между столкновениями большее, чем , расстояние. Ведь это только в среднем молекулам между столкновениями дается ровно столько времени, чтобы они смогли пройти расстояние . Измеряя длину свободного пробега , можно определить эффективное сечение рассеяния  и сравнить этот результат с расчетами, основанными на детальной теории строения атомов. Но это уже совсем другая тема! А пока вернемся к проблеме неравновесных состояний.