§ 3. Двумерные собственные колебания

Сейчас мы перейдем к рассмотрению очень интересного поведения собственных гармоник в двумерных колебаниях. До сих пор мы говорили только об одномерных колебаниях: натянутой струне или звуковых волнах в трубе. В конце концов мы должны добраться до трех измерений, но сначала давайте остановимся на более легком этапе - этапе двумерных колебаний. Возьмем для большей определенности прямоугольный резиновый барабан, перепонка которого закреплена по краям так, что на прямоугольном крае барабана она перемещаться не может. Пусть размеры прямоугольника будут равны  и , как это показано на фиг. 49.4. Прежде всего, каковы характеристики возможного движения? Можно начать с того же, с чего мы начали, когда рассматривали пример со струной. Если бы никакого закрепления не было вовсе, то можно было бы ожидать появления волн, бегущих в некотором направлении, например синусоидальной волны, описываемой функцией , направление движения которой зависит от относительной величины чисел  и . А как теперь сделать узел на оси , т. е. при ? Используя ту же идею, что и для одномерной струны, можно добавить волну, описываемую комплексной функцией .

Фиг. 49.4. Колебание прямоугольной пластинки.

Суперпозиция этих волн в результате дает нулевое перемещение при  независимо от того, каковы будут значения  и . (Хотя эти функции будут определены и для отрицательных значений  там, где никакого барабана нет и колебаться нечему, но на это можно не обращать никакого внимания. Ведь нам хотелось устранить перемещение при , и мы добились этого.) Вторую функцию в этом случае можно рассматривать как отраженную волну.

Однако нам нужно получить узел не только на линии , но и на линии . Как же это сделать? Решение такой задачи связано с некоторыми вещами, которыми мы занимались при изучении отражения света от кристалла. Волны, гасящие друг друга при , могут сделать то же самое и при , только когда  равно целому числу длин волн  ( - угол, показанный на фиг. 49.4):

.             (49.7)

Точно таким же образом, т. е. сложением еще двух функций  и , каждая из которых представляет отражение другой от линии , можно устроить узел и на оси . Условие того, что линия  будет тоже узловой, получается так же, как и условие при , т. е.  должно быть равно целому числу длин волн:

.                        (49.8)

Тогда окончательный результат таков: волны, «заключенные» в ящике, имеют вид стоячей волны, т. е. образуют какие-то определенные собственные гармоники.

Таким образом, если мы хотим иметь дело с собственными гармониками, то должны удовлетворить двум написанным выше условиям. Для начала давайте найдем длину волны. Исключив из уравнений (49.7) и (49.8) угол , можно выразить длину волны через  и . Легче всего это сделать так: сначала разделить обе части уравнений соответственно на  и , а затем возвести их в квадрат и сложить. В результате мы получим уравнение

,

которое легко разрешить относительно :

.                   (49.9)

Итак, мы определили длину волны через два целых числа, а по длине волны мы немедленно получаем частоту , ибо, как известно, частота равна , деленной на длину волны.

Этот результат настолько важен и интересен, что необходимо теперь получить его строго математически без использования аналогий с отражением. Давайте представим колебание в виде суперпозиции четырех волн, подобранных таким образом, чтобы все четыре линии , ,  и  были узловыми. Потребуем еще, чтобы все эти волны имели одинаковую частоту, т. е. чтобы результирующее движение представляло собственное колебание. Из главы об отражении света мы уже знаем, что функция  описывает волну, идущую в направлении, указанном на фиг. 49.4. По-прежнему остается справедливым уравнение (49.6), т. е. , с той разницей, что теперь

.              (49.10)

Из рисунка ясно, что , а .

Таким образом, наше выражение для перемещения прямоугольной перепонки барабана (назовем это перемещение ) запишется в виде

.                        (49.11а)

Хотя выглядит это довольно неприглядно, сумма таких экспонент, в сущности, не так уж громоздка. Их можно свернуть в синусы, так что перемещение, как оказывается, приобретает вид

.                      (49.11б)

Другими словами, получились знакомые синусоидальные колебания, форма которых тоже синусоидальна как в направлении оси , так и в направлении оси . Граничные условия при  и  удовлетворяются автоматически. Однако мы хотим, кроме того, чтобы  обращалось в нуль при  и . Для этого мы должны наложить два дополнительных условия, а именно  и  должны быть равны целому числу  (эти целые числа могут быть разными для  и !). Но поскольку, как мы видели,  и , то отсюда немедленно получаются уравнения (49.7) и (49.8), а из них следует окончательный результат (49.9).

Возьмем теперь для примера прямоугольник, ширина которого вдвое больше высоты. Если положить  и воспользоваться уравнениями (49.4) и (49.9), то можно вычислить частоты всех гармоник:

.                        (49.12)

В табл. 49.1 перечислено несколько простых гармоник и качественно показана их форма.

Таблица 49.1 ПРОСТЫЕ ГАРМОНИКИ И ИХ ФОРМА

Следует отметить наиболее важную особенность этого частного случая - частоты не кратны ни друг другу, ни какому-то другому числу. Представление о том, что собственные частоты гармонически связаны друг с другом, в общем случае неверно. Оно неверно ни для системы размерности, большей единицы, ни даже для одномерной системы, более сложной, чем однородная и равномерно натянутая струна. Простейшим примером может служить подвешенная цепочка, натяжение которой вверху меньше, чем внизу. Если возбудить в такой цепочке гармонические колебания, то возникнут собственные гармоники с различными частотами, однако частоты не будут просто кратными какому-то числу, да и сама форма гармоник больше не будет синусоидальной.

Еще причудливей оказываются гармоники более сложных систем. Человеческий рот, например, представляет собой полость, расположенную над голосовыми связками. Движением языка и губ можно создать либо трубу с открытым концом, либо трубу с закрытым концом, причем диаметры и формы этой трубы будут различными. В общем это страшно сложный резонатор, но тем не менее все же резонатор. При разговоре мы с помощью голосовых связок создаем какой-то тон. Тон этот довольно сложен, в него входит множество звуков, но благодаря различным резонансным частотам полость рта еще больше модифицирует его. Певец, например, может петь различные гласные: «а», «о», «у» и еще другие с той же самой высотой, но звучат они по-разному, ибо различные гармоники по-разному резонируют в этой полости. Огромную роль резонансных частот полости в образовании голосовых звуков можно продемонстрировать на очень простом опыте. Как известно, скорость звука обратно пропорциональна квадратному корню из плотности, поэтому для разных газов она различна. Если вместо воздуха мы используем гелий, плотность которого меньше, то скорость звука в нем окажется больше и все резонансные частоты полости будут больше. Следовательно, если бы мы могли перед тем, как начать говорить, наполнить наши легкие гелием, то, хотя голосовые связки по-прежнему колебались бы с той же частотой, характер нашего голоса резко изменился бы.