§ 2. Волны в ограниченном пространстве и собственные частоты

Перейдем к обсуждению следующей интересной задачи. Что произойдет, если струну закрепить с двух концов, скажем в точках  и ? Давайте начнем с идеи отражения волны, с некоего горба, движущегося в одном направлении. С течением времени этот горб подойдет к одному концу струны и в конце концов превратится в небольшой всплеск, поскольку здесь он складывается с перевернутым ответным горбом, идущим с другой стороны. Наконец первый горб совсем исчезнет, а в обратном направлении побежит другой, «ответный» горб, и весь процесс повторится уже на другом конце. Как видите, задача решается совсем просто, впрочем здесь возникает интересный вопрос: можно ли в этом случае получить синусоидальную волну (только что описанное решение периодично, но, разумеется, не синусоидально периодично). Давайте попытаемся «вставить» в нашу струну синусоидально периодическую волну. Если один конец струны закреплен, то мы знаем, что должно получиться нечто похожее на наше предыдущее решение (49.3). Но то же самое должно получиться и у второго конца, ведь он тоже закреплен. Поэтому единственная возможность получить периодическое синусоидальное движение - это взять волну, которая в точности укладывается на длине струны. В противном случае мы не получим собственной частоты, с которой струна могла бы продолжать свои колебания. Короче говоря, если по струне пустить синусоидальную волну, которая в точности укладывается на ее длине, то она сохраняет свою идеальную синусообразную форму и будет гармонически колебаться с некоторой частотой.

Математически мы можем задать форму волны в виде функции , где , как и в уравнениях (49.3) и (49.4). Эта функция обращается в нуль при , однако то же условие должно выполняться и на другом конце струны. Дело в том, что  уже не будет произвольным, как в случае полуограниченной струны. Оба конца могут быть закреплены при одном-единственном условии, что . Но чтобы синус был равен нулю, его угол должен быть кратен целому числу , например  и т. д. Поэтому уравнение

                     (49.5)

в зависимости от того целого числа, которое мы подставим в него, дает полный набор различных чисел . При этом каждому числу  соответствует частота , которая по формуле (49.3) равна просто

.                       (49.6)

Итак, мы нашли, что синусоидальные колебания струны могут происходить только с некоторыми определенными частотами. Это - наиболее важная характеристика волн в ограниченной области. Сколь бы сложна ни была система, всегда оказывается, что в ней могут быть чисто синусоидальные колебания, но частота их определяется свойствами данной системы и природой ее границ. В случае струны возможно множество различных частот, каждой из которых соответствует определенное собственное колебание - движение, синусоидально повторяющее самое себя.

На фиг. 49.2 показаны первые три собственные гармоники нашей струны. Длина волны  первой из них равна . В этом легко убедиться, продолжив волну до точки  и получив полный цикл синусоидальной волны. Угловая частота  равна в общем случае , деленному на длину волны , а поскольку сейчас у нас , то частота будет равна , что согласуется с формулой (49.6) при . Обозначим эту частоту через . Следующая собственная гармоника напоминает бантик из двух петель с узлом посредине. Ее длина просто равна . Соответствующая величина , а следовательно, и частота  должны быть вдвое большими, т. е. частота равна . Частота третьей собственной гармоники оказывается равной  и т. д. Таким образом, различные собственные гармоники кратны целому числу низшей частоты , т. е.  и т. д.

Фиг. 49.2. Первые три гармоники колеблющейся струны.

Вернемся теперь к общему движению струны. Оказывается, что любое возможное движение можно рассматривать как одновременное действие некоторого числа собственных колебаний. На самом деле для описания наиболее общего движения должно быть одновременно возбуждено бесконечное число собственных гармоник. Чтобы получить некоторое представление о том, что происходит при таком сложении, давайте посмотрим, что получится при одновременном колебании двух первых собственных гармоник. Пусть первая из них колеблется так, как это показано в ряде схематических чертежей фиг. 49.3, где изображены отклонения струны через равные промежутки времени на протяжении полуцикла низшей частоты.

Фиг. 49.3. Две гармоники, напоминающие при сложении бегущую волну.

Предположим теперь, что одновременно с первой собственной гармоникой работает и вторая. Последовательные положения струны при возбуждении этой собственной гармоники показаны тоже на фиг. 49.3 пунктирной линией. По отношению к первой гармонике они сдвинуты по фазе на 90°. Это означает, что в начальный момент никакого отклонения не было, но скорости двух половинок струны направлены в противоположные стороны. Вспомним теперь общий принцип линейных систем: если взять любые два решения, то сумма их тоже будет решением. Поэтому перемещения, полученные сложением двух решений, показанных на фиг. 49.3, будут третьим возможным решением. На этом же рисунке показан и результат сложения, который начинает напоминать горб, пробегающий взад и вперед по струне от одного конца до другого, хотя с помощью только двух собственных гармоник нельзя построить достаточно хорошей картины такого движения; их нужно гораздо больше. Этот результат представляет на самом деле частный случай основного принципа линейных систем, который гласит:

Любое движение можно рассматривать как составленное из различных собственных гармоник, взятых с надлежащими амплитудами и фазами.

Значение этого принципа обусловлено тем фактом, что каждое собственное колебание - очень простая вещь - это просто синусоидальное движение во времени. Но правде говоря, даже общее движение струны - еще не самая сложная вещь; существует движение куда более сложное, скажем такое, как вибрация крыльев самолета. Тем не менее даже у крыльев самолета можно обнаружить некие собственные кручения с определенными частотами. А если так, то полное движение можно рассматривать как суперпозицию гармонических колебаний (за исключением тех случаев, когда вибрация настолько велика, что система уже не может рассматриваться как линейная).