3.3. Модифицированный последовательный критерий отношения вероятностей — непрерывный случай

Аналогично дискретному случаю, изложенному в § 3.2, здесь будет описан модифицированный п. к. о. в. для непрерывного случая [1, 6]. Пусть представляют собой два стохастических процесса, соответствующих двум классам образов, определяемых случайными условиями (вследствие шума, искажений и т. п.). Классификатор, начиная с непрерывно наблюдает некоторый процесс в пространстве

признаков и должен как можно раньше принять решение, является процессом или Пусть время, когда классификатор достигает окончательного решения. В общем случае является случайной величиной. Пусть обозначает среднее когда Задача заключается в построении решающей процедуры для такой классификации на два класса и которой минимально для и выполняется требование, чтобы при вероятность ошибочной классификации не превышала Это является просто той же формулировкой для стохастических процессов с непрерывным временным параметром, что и формулировка, данная Вальдом для стохастического процесса с дискретным временным параметром.

Предположим, что данные стохастические процессы, связанные с двумя классами образов, удовлетворяют следующему условию: для каждого является достаточной статистикой для этого процесса, т. е. при данном условное распределение От (с вероятностью 1), одно и то же для процессов Положим

и

Модифицированный п. к. о. в. может быть сформулирован следующим образом: пусть являются либо постоянными, либо соответственно монотонными невозрастающей и неубывающей функциями Классификатор продолжает измерять пока

Как только классификатор прекращает измерения и принимает решение Аналогично, как только классификатор прекращает измерения и принимает решение Положим

и

где есть заранее установленное время, когда заканчивается Последовательный процесс и классификатор оказывается вынужденным принять окончательное решение. Неравенство (3.24) при этом принимает вид

Нарушение одного из неравенств соответствует классификации или Заметим, что при модифицированный п. к. о. в. приводится к обычному п. к. о. в. Вальда с непрерывным временным параметром, где Кроме того, являются производными при Пусть обозначает среднее время окончания для модифицированного п. к. о. в, когда Аналогично дискретному случаю получаем следующие соотношения, выраженные через непрерывный временной параметр (подробные, выкладки см. в приложении С)

Соответственно (3.19), (3.20) и (3.21) получаем для непрерывного случая

и

Из (3.31) следует, что так как всегда положительно. В этой формулировке

модифицированный п. к. о. в. с непрерывным временным параметром в сущности включает в качестве частного случая обычный п. к. о. в. Вальда с дискретным временным параметром, когда и являются постоянными и рассматривается как элемент некоторого множества неотрицательных целых чисел Также вследствие использования непрерывного временного параметра некоторые из приближенных соотношений Вальда, в которых пренебрегается превышением над границами, становятся точными с вероятностью единица.