ПРИЛОЖЕНИЕ С. СВОЙСТВА МОДИФИЦИРОВАННОГО П. К. О. В.

Это приложение посвящено выводу среднего времени окончания и вероятностей ошибок для модифицированного п. к. о. в. Вначале приведено несколько лемм и следствий для случая непрерывного временного параметра. Аналогичные результаты для случая дискретного временного параметра можно найти у Буссганга и Маркуса. Далее эти леммы и следствия будут применены для вывода среднего времени и вероятностей ошибок.

Пусть и вероятностные меры, соответствующие стохастическим процессам из множества функций выборки которая в момент первый раз нарушает нижнее неравенство в формуле (3.24). Далее, пусть — соответствующие вероятностные меры для нарушения верхнего неравенства в формуле (3.24). Пусть мера условной вероятности того, что последовательный процесс классификации закончится в момент при условии, что является истинным стохастическим процессом (или данный образ принадлежит классу измеренным на входе, и что нарушено нижнее неравенство. Аналогично определяется соответствующая мера условной вероятности нарушения верхнего неравенства.

Пусть соответственно условные средние, определенные согласно указанным выше мерам условных вероятностей. Тогда мы имеем следующие леммы.

Лемма 1.

и

Доказательство. Пусть событие А состоит в том, что п. к. о. в. заканчивается в момент и событие В заключается в том, что процедура испытаний приводит к пересечению верхней границы, когда является истинным наблюдаемым процессом. Тогда

Кроме того,

Поэтому

Совершенно аналогично можно доказать остальные части леммы.

Лемма 2. Рассмотрим п. к. о. в. Вальда с непрерывным временным параметром (пренебрегать превышением границ больше нет необходимости, так как в непрерывном случае это превышение равно нулю с вероятностью единица), который приводит к классификации Имеем

Аналогично в случае, когда классифицируется как

Доказательство. Пусть есть выборочная функция, которая приводит в момент к классификации Тогда

или

Пусть есть множество всех выборочных функций, для которых справедливо приведенное выше равенство при условии, что (3.24) удовлетворялось для всех Тогда

Можно записать следующее эквивалентное равенство:

Заметим, что при п. к. о. в. Вальда с непрерывным временным параметром

с вероятностью единица. Поэтому

Кроме того,

Согласно лемме 1

Делая подстановку в получим

что означает Аналогично может быть доказана другая часть леммы.

Следствие 1. В п. к. о. в. Вальда с непрерывным временным параметром все условные моменты величины если они существуют, равны между собой, т. е.

Доказательство получаем, непосредственно применив лемму 2.

Следствие 2. Для модифицированного п. к. о. в. справедливы следующие соотношения:

Доказательство. Для доказательства формулы вновь используем равенство

Учитывая это равенство, можно записать 00

Аналогично можно доказать а следует из и

Теорема 1. Пусть представляет собой стохастический процесс, у которого среднее существует и равно Пусть представляет другой стохастический процесс, причем случайная величина, у которой существует среднее Если статистически независимы при

всех и среднее функции конечно, то

Доказательство.

Так как среднее, по предположению, конечно, то, применяя теорему Фубини, получим

что и требовалось доказать.

Положим теперь, что является средним временем окончания модифицированного п. к. о. в., а , обозначает соответствующие вероятности ошибок. Допустим, что настолько малы, что Тогда

Применяя теорему 1 и следуя Буссгангу, получим, что

где

Полагая и приравнивая и получим

Разлагая в и пренебрегая всеми условными моментами и, кроме первого, имеем

Чтобы получить выражение для вероятности ошибки для модифицированного п. к. о. в., используем формулу следствия 2, положив Тогда

Вновь полагая вероятности ошибок очень малыми и пренебрегая моментами высшего порядка и, получим

Сохраняя первые два члена разложения экспоненты в формуле и подставляя при знаке равенства, получим

Наконец, рассмотрим основной п. к. о. в. Вальда с верхней границей и нижней границей Если

вероятности ошибок малы, то, следуя Вальду, получим

Полагая т. е. что границы основного п. к. о. в. Вальда и модифицированного п. к. о. в. имеют одинаковые начальные значения, получим