5.2. Последовательные ранги и процедура определения последовательных рангов

Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, для применения п. к. о. в. Вальда в непараметрическом варианте следовало бы заменить вектор замеров признаков вектором рангов Ранг замера равен тогда и только тогда, когда есть наименьший замер во множестве замеров Вследствие последовательного характера выполнения измерений признаков в п. к. о. в. мы естественно приходим к идее последовательного определения рангов замеров каждый раз при новом измерении, не переопределяя их во всем векторе признаков. Чтобы точно показать,

как можно построить такую процедуру, полезно рассмотреть процесс определения простых (непоследовательных) рангов, который состоит в следующем.

Предположим, что измерения признаков производятся последовательно, и после каждого нового измерения переопределяются ранги для всего множества замеров. Пусть ранг по отношению ко всему множеству замеров на шаге процесса, где Тогда процесс переопределения простых рангов будет описываться двумя группами векторов табл. 5.1.

Таблица 5.1 (см. скан)

Следует указать, что вектор один полностью определяет процесс переопределения рангов в том смысле, что для восстановления любого из перечисленных выше векторов простых рангов достаточно знать лишь ранги где есть ранг по отношению к множеству Действительно, легко видеть, что замеру признака, как только он получен, может быть присвоен ранг по отношению ко всем выполненным измерениям без переопределения рангов предыдущих замеров. В то же время он сохраняется в информации, которая будет получена при переопределении рангов всех предшествующих замеров. Такой метод определения рангов замеров естественным образом согласуется с идеей процедуры последовательных решений, когда замеры берутся последовательно в соответствии с определенным правилом остановки. Для формализации этой идеи, которая приводит к построению непараметрической процедуры

последовательной классификации, дадим вначале определение и докажем лемму.

Определение. «Последовательный ранг» замера по отношению к множеству замеров равен если является наименьшей величиной в этом множестве.

Таким образом, последовательный ранг есть всегда единица, последовательный ранг равен 1 или 2 в зависимости от того, будет или Последовательный ранг равен 1, 2 или 3, когда является соответственно наименьшим, средним или наибольшим элементом множества замеров В дальнейшем вектор последовательных рангов, определенный для вектора замеров признаков будем обозначать

Лемма. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством возможных расстановок и множеством возможных векторов последовательных рангов для вектора замеров

Доказательство [9, 10]. Рассмотрим вектор состоящий из различных между собой действительных чисел и множество содержащее векторов, полученных путем всевозможных расстановок координат исходного вектора. Определим далее отображение множества в множество так, чтобы координата вектора равнялась рангу по отношению к множеству Иначе говоря, координата равна если есть наименьшая величина среди Отображение является взаимно однозначным и биективным.

Смысл этой леммы, значение которой станет ясным впоследствии, заключается в следующем: если мы имеем какую-то расстановку элементов вектора замеров признаков, например и найдем соответствующие последовательные ранги согласно данному выше определению, то полученный вектор последовательных рангов будет определен

однозначно. Обратно, вектор последовательных рангов однозначно определяет расстановку элементов в исходном векторе. Поскольку всякая частная расстановка однозначно определяет и вектор простых рангов то существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов последовательных рангов и множеством векторов простых рангов для всех возможных расстановок.

Для того чтобы осуществить плавный переход от п. к. о. в. Вальда к его непараметрическому варианту, необходимо найти распределение вероятностей для векторов последовательных рангов. В непараметрических статистиках обнаруживаются два важных обстоятельства, которые можно использовать соответственно для точного вычисления распределений последовательных рангов и для практических приложений к задачам непараметрических испытаний. Первое обусловлено тем фактом, что между порядком замеров (следовательно, и вектором простых рангов) и вектором последовательных рангов существует взаимно однозначное соответствие. Отсюда следует, что распределение последовательных рангов можно легко вычислить [11]. Второе полезное обстоятельство заключается в том, что в непараметрических испытаниях часто делается основное предположение альтернатив Лемана. В дальнейшем в этой главе будет показано, что данное предположение, хотя и необходимо, не является столь ограничительным, как это кажется, когда оно используется в непараметрическом построении систем последовательной классификации.

Рассмотрим распределение векторов последовательных рангов. С учетом однозначного соответствия между порядками расположения замеров признаков и векторами последовательных рангов распределения последних полностью определяется следующим образом:

где обозначает функцию распределения При этом все предполагаются независимыми. В случае, когда функции распределения удовлетворяют альтернативам Лемана [12], получим

Таким образом,

Подставляя (5.3) в (5.1), получим

Обозначим тогда (5.4) примет вид [13]

(см. скан)

Из (5.5) можно найти вероятность для любой расстановки величин переставляя их в формуле соответственным образом. В итоге получим все величины, входящие в (5.1), и тем самым найдем распределение векторов последовательных рангов.