2. Байесова последовательная решающая процедура

Если подходить к байесовой задаче с фиксированным объемом выборки (испытание статистических гипотез) с позиций теории решений, то оптимальное (байесово) решение выбирается так, чтобы минимизировать величину средних потерь

т. е.

Здесь множество априорных вероятностей, а

есть условные потери или условный риск. это потери при принятии решения (т. е. при принятии гипотезы когда фактически истинна. Можно показать, что при функции потерь

байесово решение будет если

Введем отношение правдоподобия между и Ну.

Тогда, согласно если

Надо заметить, что этот результат согласуется с результатом, полученным Нейманом и Пирсоном, как это видно из

В байесовой задаче последовательного решения наблюдения производятся последовательно. На каждом шаге на основе информации, собранной до этого, принимается решение, остановить ли процесс и принять окончательное решение или произвести следующее наблюдение. Если стоимость этих наблюдений была бы незначительна, то можно было бы не менять поведения, так как мы ничего не теряем и можем только выиграть, выполняя все доступные наблюдения. Однако в большинстве практических случаев наблюдения имеют стоимость, и мы можем значительно улучшить ситуацию, если на каждом шаге процесса будем соразмерять стоимость выполнения будущих наблюдений со средним выигрышем, даваемым ими.

Рассмотрим случай гипотез Для любого плана последовательной выборки с элементами и априорными вероятностями средний риск (или последовательный риск) может быть записан в следующем виде [10]:

где стоимость наблюдений и решающая функция, основанная на замерах Последовательный план выборки в общем случае представляется разбиением с элементами так, что каждый является цилиндрическим множеством на Решающая функция дает правило окончательного решения для На каждом шаге можно вычислить средний риск продолжения последовательного процесса, т. е. выполнения дополнительного наблюдения, и средний риск остановки процесса и принятия окончательного решения. Байесово решение оптимально в смысле минимизации среднего риска. Поэтому решение, продолжать последовательный процесс или остановить его и принять окончательное решение, может быть получено сравнением соответствующих рисков на каждом шаге.

Если ограничено, то последовательный процесс должен быть завершен за шагов, т. е. на шаге [10, 11]:

Пусть - минимальный средний риск всей последовательной процедуры, полученный на основе последовательности замеров Пусть -стоимость выполнения еще одного наблюдения на шаге процесса, средний риск принятия окончательного решения после того, как сделаны наблюдения Если решающая процедура заканчивается, то средний риск будет при использовании оптимального решающего правила. Если она продолжается и делается дополнительное наблюдение средний риск равен

Основное функциональное уравнение, определяющее последовательность функций среднего риска, имеет вид

Следуя на шаге процесса получаем

По обратной индукции байесова последовательная решающая процедура может выполняться от последнего шага по направлению к начальному шагу процесса с помощью рекуррентных соотношений. Динамическое программирование дает процедуру вычислений для этой задачи [12]. Если не ограничено, то байесова последовательная решающая процедура, определяющая бесконечную последовательность наблюдений, для двух гипотез эквивалентна п. к. о. в. Вальда. Следовательно, п. к. о. в. также оптимален в том смысле, что при данных априорных вероятностях он минимизирует средний риск [3, 10].

Литература

(см. скан)

(см. скан)