ПРИЛОЖЕНИЕ D. ПОДСЧЕТ НЕСКОЛЬКИХ КОМБИНАЦИЙ ВЕЛИЧИН kj И ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧИСЛА ТАБЛИЦ, НЕОБХОДИМЫХ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ФУНКЦИЙ РИСКА

Пусть обозначает число наступлений события число шагов. Общее число таблиц, содержащих функции риска всех возможных последовательностей можно подсчитать с помощью таблиц следующего образца.

Число членов в субтаблицах очевидно, равно

Теперь пусть будут также переменными. Общее число членов во всей таблице получается путем суммирования по всем переменным выражения в котором заменено на

Это общее число, как указывалось в § 4.3, равно членов всей таблице равно где

Ниже это равенство доказывается индукцией для всех Для можно показать путем непосредственного подсчета субтаблиц что число таблиц также равно

(см. скан)

Доказательство Пусть тогда

откуда видно, что соблюдается при Покажем, что если верно для некоторого то оно верно и для Сначала установим следующее равенство, которое верно в предположении, что истинно для некоторого а именно: для

Равенство также можно доказать индукцией. При

т. е. верно для Покажем теперь, что если верно для некоторого то оно верно и для При

Эта величина в соответствии с принятым выше соглашением равна

Итак, мы показали, что истинность для влечет истинность и для Следовательно, истинно для всех

Теперь вернемся к доказательству При имеем

Поскольку первый член в правой части равен то можно записать следующим образом:

(см. скан)

можно последовательно свести к следующему равенству:

Это означает, что верно для Следовательно верно для всех и число таблиц равно