2. Математический аппарат, используемый в методах принятия решений

2.1. Вычисление главного собственного вектора примитивных матриц

Основы метода анализа иерархий базируются на классической теории матриц, изложенной в [9, 33, 60, 93, 94].

Матрицы парных сравнений МАИ представляют собой положительные обратносимметричные неприводимые матрицы, к которым предъявляется требование согласованности.

Квадратные матрицы для которых , называются положительными обратносимметричными матрицами.

Положительные обратносимметричные матрицы для элементов которых выполняется соотношение , являются согласованными.

Квадратная матрица - неприводимая, если она не может быть представленалена в виде , где - квадратные матрицы, 0 - нулевая матри . В противном случае матрицу называют приводимой. Заметим, что в некоторых работах такие матрицы называют неразложимыми [33].

Пример. Матрица приводима.

Граф, соответствующий этой матрице, имеет дугу из первой в первую и третью вершины и аналогично - из третьей в первую и третью вершины, но переход во вторую вершину невозможен (рис. 2.1). Из второй вершины можно перейти во все три вершины.

Рис. 2.1. Граф, иллюстрирующий матрицу

Таким образом, первая и третья вершины образуют неприводимую компоненту, а вторая связана с ними.

Заметим, что комплексная матрица А неприводима в том и только в том случае, если ее направленный граф D(А) - сильно связный.

Теорема. Квадратная матрица или неприводима, или не может быть приведена путем перестановок индексов к виду:

содержащему блок - диагональную матрицу с неприводимыми матрицами на диагонали. При этом, по крайней мере, одна из матриц с двойным индексом в каждой строке, в которой они появляются, нулевая.

МАИ позволяет вычислять приоритеты альтернатив . Приоритетами альтернатив, полученными на основе матрицы их парных сравнений, служат нормализованные значения главного собственного вектора матрицы.

Векторы для которых называются собственными векторами, а соответствующие им числа - характеристическими, или собственными числами матрицы А.

Собственные числа матрицы А являются корнями характеристического уравнения матрицы где I - единичная матрица. Как полиномиальное уравнение относительно , оно имеет N корней. Каждому собственному значению ставится в соответствие собственный вектор, определенный с точностью до скалярного множителя.

В теореме Фробениуса [33] утверждается, что неприводимая неотрицательная матрица А (в теореме Перрона, что положительная матрица А) всегда имеет действительное положительное простое собственное значение Лтах. Причем модули всех других характеристических чисел не превосходят Лтах.

Теорема (Перрон-Фробениуса) Пусть А > 0 - неприводимая матрица. Тогда:

1. А имеет действительное положительной простое (т.е. некратное) собственное значение Лтах, которое по модулю не меньше любого другого собственного значения матрицы А (некоторые из которых могут быть комплексными числами).

2. Собственный вектор А, соответствующий собственному значению , имеет положительные компоненты и, по существу (с точностью до постоянного множителя), единственен.

3. Число (иногда называемое конем Перрона матрицы А) удовлетворяет условию

тттах-; - произвольно.

Следствие. Пусть неприводима и пусть х > 0 произвольно. Тогда корень Перрона удовлетворяет условию

называют главным собственным значением (в некоторых источниках корнем Перрона) матрицы А, а соответствующий ему собственный вектор w — главным собственным вектором.

Таким образом, вычислять приоритеты элементов (находить главный собственный вектор) возможно следующим образом: составляется характеристическое уравнение матрицы А, среди корней данного уравнения выбирается наибольшее, вычисляется соответствующий собственный вектор w, значения вектора нормализуются. Составление и решение такого рода уравнений для каждой матрицы в методе анализа иерархий - достаточно трудоемкий и сложный процесс.

В МАИ предложено использовать другие способы получения главного собственного вектора матрицы, один из которых опирается на следствие к теореме Перрона-Фробениуса, при этом матрицы должны удовлетворять условию примитивности.

Если неприводимая неотрицательная матрица имеет всего h характеристических чисел: с максимальным модулем , то такая матрица называется примитивной при (главное собственное значение по модулю является единственным ), при матрица называется импримитивной (существуют характеристические корни матрицы, совпадающие по модулю с главным собственным значением). Т. Саати использует в качестве определения примитивной матрицы утверждение теоремы: неприводимая матрица является примитивной в том и

только в том случае, когда такое, что (некоторая степень матрицы А положительна).

Основная теорема МАИ формулируется для примитивных матриц.

Теорема. Для примитивной матрицы где с - постоянная, а w - собственный вектор, соответствующий .

Используя следствие теоремы Перрона, получаем менее трудоемкий (при компьютерной поддержке) способ вычисления вектора приоритетов матрицы парных сравнений: матрица возводится в произвольно большие степени, вычисляются суммы элементов строк матрицы-результата, полученные суммы нормализуются. Такой подход предоставляет возможность находить главный собственный вектор матрицы А без использования характеристического уравнения, что намного облегчает процедуру его вычисления. Пример вычисления главного собственного вектора и классическим методом, и с использованием основной теоремы МАИ, рассмотрен нами в работе [20].