2.3. Комплекты. Нечеткие множества. Нечеткие отношения

Четкие и нечеткие множества

Любые ситуации, требующие принятия решений, содержат, как правило, большое количество неопределенностей. В этом случае информация, на основе которой принимается решение, может быть выражена нечетко.

Начало развития понятий нечетких множеств связано с именем Л.А. Заде. Современные понятия нечеткой логики представлены в работах А.Н. Мелихова [70, 71], А.Н. Борисова [23, 24, 25, 26], С. А. Орловского [81], X. Райфа [89], А. Кофмана [56], В.Б. Кузьмина [57, 58], в работах [74, 78, 79, 87].

Множество А - четкое множество, если А - часть некоторого универсального для данной прикладной задачи множества U, характеризующегося условиями:

- все элементы множества четко различимы между собой, в множестве нет нескольких экземпляров некоторых элементов;

- относительно каждого элемента можно четко определить, принадлежит он данному множеству или нет.

Эти условия позволяют охарактеризовать четкое множество его характеристической функцией, заданной на универсальном множестве U и принимающей значения в множестве {0, 1}:

Отказ от первого условия приводит к более общему, чем множество, понятию комплекта, допускающего наличие нескольких экземпляров некоторых элементов. Комплект характеризуется функцией экземплярности, заданной на универсальном множестве U и принимающей значения в множестве неотрицательных целых чисел: - число экземпляров элемента в комплекте А.

Отказ от второго условия приводит к более общему, чем множество, понятию нечеткого множества, допускающего определение лишь некоторой степени принадлежности элементов такому множеству.

Нечетким подмножеством множества X называется совокупность пар вида , где - функция принадлежности, ставящая в соответствие множеству X отрезок [0;1].

X - базовое множество, или базовая шкала. В множество не включаются элементы, для которых . Нечеткое множество 0 - пустое, если для каждого . Нечеткое множество X - универсальное,

если для каждого .

Функция принадлежности выбирается субъективно, зависит от субъекта, его настроения, цели построения множеств, решаемой задачи и т.д.

Пример.

Пусть X - множество отечественных машин. X = {«Волга», «Ока», «Москвич», «Жигули»}. Тогда можно определить нечеткое множество хороших

машин так: = {(«Волга»; 1), («Запорожец»; 0,4), («Москвич»; 0,6), («Жигули»; 0,8)}.

Пример.

Функция принадлежности четкому множеству принимает значение 1, если и значение 0 в противном случае. Ее график приведен на рисунке.

Рис. 2.3. График функции принадлежности множеству

График же функции принадлежности любому нечеткому множеству (за исключением пустого и универсального множеств) будет представлять собой некую кривую. Рассмотрим, например, нечеткое множество «значение близко к . График его функции принадлежности может выглядеть так, как например на рис. 2.4.

Рис. 2.4. График функции принадлежности множеству «значение близко к

Носителем нечеткого множества называется подмножество множества X, содержащее те элементы из X, для которых значения функции принадлежности Следует заметить, что носитель нечеткого множества - это множество в обычном смысле.

Пример.

Пусть X - множество натуральных чисел. Тогда его нечеткое подмножество М очень малых чисел может быть таким: = {(1; 1), (2; 0,8), (3; 0,7), (4; 0,6), (5; 0,5), (6; 0,3), (7; 0,1)}.

Носителем нечеткого множества является множество М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Это обычное четкое подмножество множества X.