5.1. Гомоморфизм шкал МАИ и метода принятия решений при нечеткой исходной информации

Базовая шкала метода анализа иерархий (1) может быть формализована в виде множества , где . При при и т.д. В частности, в МАИ .

Базовая шкала метода принятия решений при нечеткой исходной информации (2) представляет собой отрезок действительных чисел

В качественных методах принятия решений (3) для нумерации оценок на порядковой шкале критерия q используется ряд натуральных чисел. Количественную шкалу, в этом случае, можно формализовать как комплект целые числа .

Отрезок , множество комплект (базовые шкалы методов (1), (2), (3)) являются решетками и, в частности, цепями. Во множествах S и имеют место операции .

Множество S(m) является дискретным и состоит из элементов.

Множество S - множество мощности континиум (как непрерывный отрезок действительных чисел).

Решетка является полной, если любое множество ее элементов имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грани. Отрезок действительных чисел является полной решеткой.

Так как всякая конечная решетка полна, то множество S(m) как конечная решетка является полной решеткой.

Для возможности формирования количественных шкал, соответствующих различным методам принятия решений, необходимо установить правило перехода от одной из них к другой. В этом случае эксперту будет достаточно один раз вербально оценить предпочтительность объектов; при этом количественные шкалы, соответствующие каждому из методов принятия решений, будут сформированы автоматически.

Переход между шкалами возможен на основе их гомоморфного отображения друг в друга. Такой гомоморфизм возможно установить несколькими способами. Не каждый гомоморфизм позволит получать корректные результаты другим методом на основе полученной шкалы. Приведем некоторые из таких случаев.

Установим гомоморфизм решетки S в решетку и наоборот. Отображение решетки L в решетку называется верхним [нижним] гомоморфизмом, если для любых

. Гомоморфизм решетки L в решетку определяется как отображение, являющееся верхним и нижним гомоморфизмом одновременно.

Определим отображение таким образом, что

Пример. Пусть , тогда

Докажем, что так определенное отображение является верхним гомоморфизмом.

Пусть , тогда .

где и соответствуют представлению чисел a и b в виде или , где (для элемента ), где (для элемента ).

Требуется доказать, что .

Действительно, по определению операции в решетке .

Пусть , тогда , т.е. .

Пусть тогда , т.е. .

Пусть где .

В этом случае .

при любых , т.е. .

То есть отображение является верхним гомоморфизмом. Аналогично можно доказать, что для всех a и b выполняется . Таким образом, отображение решетки в решетку S является и верхним, и нижним гомоморфизмом одновременно, т.е. решетка гомоморфна решетке S.

Определить отображение можно различными способами. Например, отрезок разбить на интервалов, каждому интервалу поставить в соответствие элемент множества S(m) по следующему правилу:

Если и т.д.

Для множества , где отображение представлено на рисунке:

В этом случае отображение определим так:

Например, в случае :

Договоримся при включать правый конец отрезка в промежуток, тогда при .

Очевидно, что изотонное отображение является гомоморфизмом.

Проверим, действительно ли установленный гомоморфизм шкал позволят получать одинаковые результаты ранжирования альтернатив при переходе от одной шкалы к другой.

Пример. Обратносимметричная матрица МАИ имеет нормализованный главный собственный вектор (0,095; 0,654; 0,249).

Пользуясь установленным гомоморфизмом определим для каждого элемента матрицы соответствующий ему элемент в S.

Так как

В результате преобразований матрица будет иметь вид

Применяя к полученный матрице метод принятия решений при нечеткой исходной информации, получим вектор степеней недоминируемости альтернатив

Нормализуя этот вектор, получим

Получаем отличный от исходного результат.

Применим к матрице теорему Перрона-Фробениуса. Получим нормализованный собственный вектор, не совпадающий с исходным.

Значит, что при так установленном гомоморфизме матрица теряет свои свойства с точки зрения достоверности имеющейся в ней информации относительно исходных оценок.

Пример. Нестрогое отношение нечеткого предпочтения имеет вид:

Вектор недоминируемых альтернатив, соответствующий н.о.п., = (0,9; 0,9; 0,7) (или, с учетом нормализации, ). Преобразуем на основе установленного гомоморфизма матрицу к виду

Применяя к такой матрице теорему Перрона-Фробениуса, получим вектор приоритетов:

не совпадающий с вектором степеней недоминируемости альтернатив.

Если произвести вычисление вектора степеней недоминируемости альтернатив по данной матрице, то получим вектор, также не совпадающий с исходным -

Таким образом, так установленные гомоморфизмы не позволяют получать одинаковые результаты ранжирования альтернатив при переводе одной количественной шкалы в другую.

В комбинированном алгоритме поддержки принятия решений предлагается использовать для сравнения объектов качественную шкалу, вербальные оценки которой зависят от конкретного критерия, по которому происходит сравнение. Из двух предложенных объектов сначала выбирается тот, который, с точки зрения эксперта, имеет большую значимость. Затем оценивается его предпочтительность по вербальной шкале. Шкала ориентирована на 8 дискретных оценок предпочтительности по аналогии со шкалой МАИ и методом принятия решений на базе нечеткой логики. В методах принятия решений при нечеткой исходной информации, хотя С.А. Орловским и предлагается непрерывная шкала [0/1], но фактически в рассмотренных примерах осуществляется прием дискретизации и используются 9 оценок предпочтительности - 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9.

Пример возможной вербальной шкалы приведен на рис. 5.1.

Рис 5.1. Вербальная шкала сравнений объектов

Для слабого превосходства, умеренного и значительного указывается степень такого превосходства.

По выбранному значению лексической переменной из вербальной шкалы в соответствие ему ставится оценка МАИ - соответственно. Если , то .

Гомоморфизм устанавливается следующим образом:

В этом случае , то есть .

Так определенный гомоморфизм лишен самых существенных недостатков ранее приводившихся отображений - несовпадения результатов ранжирования по отношению предпочтения до гомоморфного отображения и после него одним и тем же способом вычисления вектора приоритетов. Это следует из того, что, умножение матрицы на постоянную не меняет ее нормализованного главного собственного вектора.

При так определенном гомоморфизме обратносимметричная матрица отображается в нечеткое отношение Такое нечеткое отношение удовлетворяет методу принятия решений на базе нечеткой логики, хотя и не является рефлексивным.

Рефлексивность в определении такому условию полученные нечеткие отношения не удовлетворяют. Но, как следует из метода принятия решения на базе нечеткой логики, . В этом случае при любом , т.е. полученное отношение является корректным для вычисления по нему вектора недоминируемых альтернатив.

Обратносимметричная матрица при таком отображении станет толерантным нечетким отношением нестрогого предпочтения. Недостатком такого гомоморфизма является лишь невозможность осуществления неполных сравнений, что, впрочем, следует уже из ранее определенной вербальной шкалы.

Следует отметить, что полученное н.о.п. - линейное, так как его функция принадлежности удовлетворяет условию для любых и.,