Операции над нечеткими множествами. Нечеткое включение и нечеткое равенство множеств

Также как над четкими множествами определяются логические операции включения, равенства, объединения, пересечения, дополнения и т.д., определяются они и над нечеткими множествами, только делается это при помощи функции принадлежности.

Определение. Пусть заданы нечеткие подмножества множества X.

Степень включения нечеткого множества в нечеткое множество

находится по формуле , где , понимаются как нечеткие высказывательные переменные, - импликация, - операция конъюнкции, которая берется по всем .

Если , то нечетко включается вмножество и обозначается . Если , то нечетко не включается в множество В и обозначается . Это понятие является обобщением понятия включения для четких множеств. Действительно, пусть и - четкие множества и , отсюда следует . Если же , то

Пример.

тогда .

Аналогично можно вычислить , откуда следует , но .

Определение. Множество А включается во множество если .

Справедливо следующее утверждение: если нечеткое множество включается в нечеткое множество , то выполняется и нечеткое включение .

Действительно, пусть выполняется докажем, что .

Если

Из определения операции конъюнкции следует, что результат будет минимальным из всех . А поскольку для , то .

Если , то . Так как для , то .

То есть, для любых для любых значений функций принадлежности .

Если же выполняется , то из этого не следует, что Действительно, , так как , то по определению операции конъюнкции минимальное, а значит и все остальные значения выражений . Однако заметим, если, например , то , но . То есть, включение множества во множество не гарантирует нечеткого включения, а является лишь достаточным условием нечеткого включения.

Определение. Степень равенства двух нечетких подмножеств множества X определяется как . Если , то множества нечетко равны . Если , то множества нечетко не равны Если , то множества взаимно индифферентны

Понятия нечеткого равенства и неравенства, индифферентности являются обобщением понятий равенства и неравенства для четких множеств. Действительно, пусть и - четкие множества, тогда в случае , если же и . Пример.

Преобразуем степень равенства , в виду коммутативности конъюнкции , отсюда следует , т.е. степень равенства нечетких множеств равна минимальной из степеней их взаимного включения. Если , т.е. множества нечетко равны, то . Отсюда следует метод доказательства нечеткого равенства нечетких множеств, основанный на доказательстве взаимного нечеткого включения.

Определение. Нечеткое множество равно нечеткому множеству , если . Нетрудно заметить, если выполняется равенство множеств , то эти множества являются и нечетко равными . Действительно, если .