2.4. Полные алгебраические решетки

Общие свойства решеток рассматриваются в работах Л.А. Скорнякова, С.К. Сагнаевой, М.Ш. Цаленко, Yi-Jia Tan [79, 95, 110, 124].

Частично упорядоченное множество L называется нижней [верхней] полyрешеткой, если каждое двухэлементное его подмножество имеет точную нижнюю [верхнюю] грань. Если частично упорядоченное множество является нижней и верхней полурешеткой одновременно, то оно называется решеткой.

Если L - решетка, то для любых элементов а и b можно ввести операции

Решетка называется полной, если в ней существуют объединения и пересечения любых множеств элементов. Всякая конечная решетка полна.

Отображение решетки L в решетку L называется верхним [нижним] гомоморфизмом, если для любых . Гомоморфизм решетки L в решетку L определяется как отображение, являющееся верхним и нижним гомоморфизмом одновременно. Взаимно-однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом. Верхние и нижние гомоморфизмы являются изотонными отображениями.

Непустое подмножество Н решетки L называется подрешеткой, если из следует .

Пусть L - решетка. Наибольший элемент , такой, что называется относительным псевдодополнением элемента а относительно элемента b в решетке L. Если такой элемент существует, он определяется однозначно заданием а и b и обозначается через . Решетка, в которой для любых определена операция , называется решеткой с относительными псевдодополнениями (или решеткой).

Наименьший элемент , такой, что а называется относительным псевдодополнением элемента а относительно элемента b. Решетка, в которой для любых определена операция а b, называется решеткой с относительными псевдодополнениями (или дyальной браyэровой решеткой).

Решетка L называется решеткой, если в ней выполняются тождества: , называемые дистрибутивными законами. Решетка дистрибутивна уже тогда, когда в ней имеет место уже один из указанных законов.

Решетка L называется бесконечно решеткой, если для любого и любых семейств элементов где I - множество индексов элементов, выполняется:

Полная решетка является если она бесконечно -дистрибутивна, т.е. выполняется (17). Полная решетка является дуальной брауэровой решеткой, если она бесконечно -дистрибутивна, т.е. выполняется (18). Следовательно, полная решетка L - это брауэрова решетка и дуальная брауэрова решетка, если L - бесконечно дистрибутивна бесконечно -дистрибутивной, а значит, и брауэровой, решетки является любая конечная дистрибутивная решетка, отрезок [0;1].

Решетка L называется решеткой с относительными дополнениями, если для всякого элемента из любого ее интервала найдется такой элемент d, что с при этом Решетка L с нулем 0 и единицей 1 называется решеткой с дополнениями, если каждый ее элемент имеет дополнение в интервале [0;1]. Дополнения в интервале [0;1] называются просто дополнениями.

Бyлевой решеткой называется дистрибутивная решетка с дополнениями, т.е. дистрибутивная решетка с 0 и 1. В булевой решетке В каждый элемент имеет в точности одно дополнение , такое, что .