4.1. Сравнение результатов ранжирования альтернатив различными

методами принятия решений в условиях неопределенности

Модели принятия решений в условиях неопределенности применяются для выбора наиболее оптимальных альтернатив из имеющихся в ситуациях, характеризуемых неточностью, неполнотой информации. Осуществление ранжирования альтернатив в этом случае возможно производить различными прямыми методами. Для ЛПР важно, чтобы результаты применения методов предоставляли одинаковое ранжирование альтернатив. Возможны различные приоритеты альтернатив, определяемые разными методами, но упорядочивание их должно быть одинаковым. Проведем сравнение результатов ранжирования альтернатив МАИ и методом принятия решений при нечеткой исходной информации.

Пусть имеется множество - альтернатив, - бинарное отношение на множестве альтернатив. Требуется для каждой альтернативы определить ее оценку - . В МАИ (в ходе дальнейшего изложения - ) - вектор приоритетов, в методах принятия решений при нечеткой исходной информации (способ ) - вектор степеней недоминируемости альтернатив. Причем, в .

Бинарное отношение предпочтения альтернатив задается в виде квадратной матрицы , где - степень предпочтения альтернативы перед Матрицы сформированные

в каждом способе в соответствии со шкалами (шкалой функции принадлежности (2) или шкалой относительной важности и правилами формирования отношений в каждом из методов, будут обладать рядом общих и «индивидуальных» свойств.

В способе представляет собой нечеткое отношение нестрогого предпочтения альтернатив: , т.е. - значения функции принадлежности . Матрицы неотрицательны, , где , т.е. рефлексивно.

Базовая шкала способа (2) представлена на рис. 4.1. Функция принадлежности обладает следующими свойствами:

— возрастает с возрастанием степени превосходства (силы, интенсивности) оценки превосходства альтернативы;

— означает безусловное превосходство альтернативы над

— означает либо полное отсутствие превосходства альтернативы над , либо то, что i-тая альтернатива хуже j-той.

Рис. 4.1. Базовая шкала метода ПР при нечеткой исходной информации

В способе представляет собой положительную обратносимметричную матрицу, которую можно считать отношением предпочтения альтернатив , т.е. а. - значения функции принадлежности отношению предпочтения альтернатив, при этом .

принимает значения в соответствии с базовой шкалой относительной важности, представленной на рис. 4.2. В (1) являются:

- положительными;

- обратносимметричными (если , то );

- неприводимыми;

- импримитивными;

- так же, как и в (2), бинарные отношения (1) являются рефлексивными, , где .

Рис. 4.2. Базовая шкала МАИ

Функция принадлежности обладает следующими свойствами:

— возрастает с возрастанием надежности оценки превосходства альтернативы;

— означает равную важность альтернатив.

Сравнение результатов ранжирования альтернатив можно произвести несколькими способами.

1). Соотнесение оценочных шкал. Чтобы сравнить результаты ранжирования альтернатив , полученные в результате применения методов (1) и (2), необходимо вначале сформировать соответствующие этим способам н.о.п. для (2) и матрицу парных сравнений для (1) в соответствии с их базовыми шкалами. Очевидно, что эксперт не сможет заполнить для одной и той же группы альтернатив две матрицы, соответствующие способам (1) и (2), согласованные между собой, так, чтобы элементы матриц удовлетворяли перечисленным выше свойствам. Таким образом, процедуре сравнения результатов (1) и (2) должна предшествовать процедура соотнесения шкал (1) и (2). Процедура соотнесения шкал позволит по каждому «весу» критерия шкалы (1) получить «вес» критерия шкалы (2). Для соотнесения шкал рассматриваемых методов необходимо определить элементы шкал как гомоморфные алгебраические структуры, что будет сделано в главе 5.

2). Применение алгоритмов (1) и (2) к сформированным бинарным отношениям для одних и тех же альтернатив на основе базовых шкал данных методов. ЛПР формирует отношения на множестве одних и тех же альтернатив и для метода (1), и для метода (2), субъективно (имеется в виду, что он не ставит целью точное соотнесение оценок методов). Затем к каждому отношению применяется алгоритм (1) и (2).

Рассмотрим возможность применения МАИ к н.о.п. (2), т.е. возможность применить к н.о.п. теорему Перрона-Фробениуса: для примитивной

матрицы , где с - постоянная, а w - собственный вектор, соответствующий .

Матрицы являются неотрицательными как и матрицы парных сравнений в МАИ (1). Если на компоненты а. наложить дополнительное условие (с точки зрения сравнения альтернатив это означает, что альтернативы не могут быть безразличны по отношению друг к другу), или, иначе, потребовать толерантности н.о.п. (нечеткое отношение толерантно, если оно рефлексивно и симметрично), то матрицы R заведомо удовлетворяют условиям теоремы Перрона-Фробениуса - являются примитивными. В этом случае возможна обработка матриц нечеткого отношения нестрогого предпочтения не только методом (2), но и на основе теоремы Перрона-Фробениуса (методом (1)). Однако, даже самый простой пример убеждает нас в различных результатах применяемых методов. Например, на основе матрицы

с использованием метода (2) получим вектор , тогда как применив теорему Перрона - .

Проверим вывод о несовпадении w и в общем случае на выборке случайных при помощи вычислительного эксперимента. Для этого для матриц всех размерностей до 9 создадим по 50 выборок (каждая выборка состоит из 400 матриц) и заполним случайными образом их элементы числами из шкалы (0;1] так, что при . Применим к каждому из полученных отношений алгоритмы (2) и (1) и подсчитаем количество отношений каждой размерности, для которых вектор приоритетов и функция недоминируемости предоставляют одинаковое ранжирование альтернатив (табл. 4.1). Из приведенной таблицы видно, что с увеличением размерности матрицы количество случаев одинакового упорядочивания альтернатив заметно уменьшается.

Таблица 4.1. Результаты соответствия упорядочивания альтернатив методами (1) и (2) по н.о.п.

Рассмотрим возможность применения метода принятия решения при нечеткой исходной информации с одним экспертом к обратносимметричным матрицам метода (1).

Матрицу (1) можем представить в виде н.о.п. (2). Для этого от отношения перейдем к отношению , где . Таким образом, мы получаем нечеткое отношение .

Утверждение. Деление каждого элемента матрицы (1) на максимальный элемент (умножение на любое положительное число в общем виде) не меняет ее вектора приоритета (главного собственного вектора). Действительно, по теореме Перрона-Фробениуса для примитивной матрицы А

, где с - постоянная, а w - собственный вектор,

соответствующий . Получаем

где

Отсюда следует, что для одного набора значений вектора приоритетов альтернатив в (1) существует бесконечно много отношений , отличающихся друг от друга на постоянную.

Аналогичное утверждение можно сформулировать и для Утверждение. Умножение отношения (2) на не меняет его вектор степеней недоминируемости альтернатив.

Действительно, пусть имеется отношение R. Рассмотрим отношение , где .

При построении нечеткого отношения строгого предпочтения по

При построении нечеткого отношения строгого предпочтения по н.о.п.

Если т.е., .

Вторым этапом в алгоритме (2) формируется множество недоминируемых альтернатив . Для сформируем его следующим образом: . Из определения следует, что и для отношения и для будет произведено одинаковое ранжирование альтернатив. Кроме того, если нормализуется (что в методе (2) в принципе не требуется), то и для и для , векторы степеней недоминируемости альтернатив будут совпадать.

Отсюда следует, что фиксированному нормализованному вектору

в (2) соответствует бесконечно много с точностью до постоянной. По данному утверждению, применяя алгоритм (2) к обратносимметричной матрице переход к отношению , где , в принципе необязателен.

Но применение метода (2) к матрицам (1) не приводит к результату, который получается в МАИ.

Например, для обратносимметричной матрицы

по теореме Перрона-Фробениуса будет сформирован вектор приоритетов (0,095; 0,654; 0,249).

Если применить к данной матрице способ (2), то будет получен вектор степеней недоминируемости альтернатив (0,045; 0,909; 0,045), который представляет ранжирование альтернатив, отличное от метода (1).

Аналогично, как и в первом случае, проверим вывод о несовпадении

на выборке случайных обратносимметричных матриц при помощи вычислительного эксперимента. Для этого для матриц всех размерностей до 9 создадим по 50 выборок (каждая выборка состоит из 400 матриц) и заполним случайными образом их элементы числами из шкалы МАИ так, что при . Применим к каждому из полученных отношений алгоритмы (2) и (1) и подсчитаем количество отношений каждой размерности, для которых вектор приоритетов и функция недоминируемости предоставляют одинаковое ранжирование альтернатив (табл. 4.2). Из приведенной таблицы видно, что с увеличением размерности матрицы количество случаев одинакового упорядочивания альтернатив заметно уменьшается.

Таблица 4.2. Результаты соответствия упорядочивания альтернатив методами (1) и (2) по обратносимметричной матрице

То есть, отношения сравнения альтернатив при наложении некоторых

дополнительных ограничений удовлетворяют свойствам, необходимым для применения другого метода, но попытки применения этих методов показали несостоятельность такого подхода (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Зависимость одинаковых упорядочиваний альтернатив разными методами от размерностей матриц

На основе проведенных рассуждений можно сформулировать следующие свойства рассмотренных моделей линейного упорядочивания:

Свойство 1. Умножение бинарного отношения А на положительную постоянную не изменяет линейного упорядочивания модели.

Свойство 2. Ранжирование альтернатив на основе бинарных отношений одной модели методами других моделей в общем случае различно, причем с увеличением размерности матрицы степень различного ранжирования возрастает.

Свойство 3. Модели линейного упорядочивания допускают вычисление вектора приоритетов по различным бинарным рефлексивным отношениям при наложении на них ряда дополнительных условий.

3). Восстановление отношения (1) на основе вектора степеней недоминируемости альтернатив, вычисленного для отношения (2). Рассмотрим на множестве альтернатив . Методом (2) получим множество недоминируемых альтернатив , где представляет собой «вес», или оценку, каждой альтернативы. При этом для дальнейших рассуждений необходимо, чтобы выполнялось условие (в противном случае, при получении обратносимметричной матрицы будет выполняться деление на нуль).

Потребуем, чтобы (нормализуем полученный вектор). Степень принадлежности элементов отношению будем определять посредством парных сравнений (в виду этого условие можно считать избыточным). В результате получим примитив обратносимметричную матрицу, обладающую свойством рефлексивности при , которая удовлетворяет условиям теоремы Перрона-Фробениуса. Вычислим для данной матрицы вектор приоритетов и убедимся в том, что он совпадает с нормализованным вектором степеней недоминируемости альтернатив.

Действительно, пусть дан вектор степеней недоминируемости альтернатив как результат метода , такой, что .

Обозначим через . число, соответствующее значимости альтернативы по сравнению с . Матрицу, состоящую из этих чисел, обозначим через . В нашем случае . Поэтому . Тогда . Следовательно, Получаем . Или . То есть, - собственный вектор матрицы А с собственным значением n. С другой стороны, по теореме Перрона-Фробениуса (в методе МАИ) по матрице А будет вычислен вектор приоритетов ), который, как показано, и будет являться вектором степеней недоминируемости альтернатив .

Например, для ранее рассмотренного н.о.п.

соответствующая данным результатам матрица МАИ будет иметь вид:

Восстановление по вектору приоритетов (1) н.о.п. (2) с точностью до постоянной невозможно, так как одному w могут соответствовать несколько различных н.о.п.

Таким образом, в разделе 4.1 показано, что применение к произвольному н.о.п. модели функции доминируемости способа обработки данных (1) предоставляет результаты, отличные от тех, которые могут быть получены на основе модели (2). Такой же вывод был сделан и для обратносимметричных матриц (1).

В этом случае представляет интерес вопрос о том, как по вектору приоритетов, полученному при помощи одного из методов, восстановить бинарное отношение, удовлетворяющее условиям другого метода. Нами предложен способ восстановления матрицы (1) по вектору степеней недоминируемости альтернатив (2).