3.2. Модели линейного упорядочивания

Используемые в практике модели линейного упорядочивания традиционно разделяются на две большие группы, различающиеся своим подходом к решению задачи упорядочивания объектов [8].

В моделях первой группы, использующих статистические методы, каждому объекту х, сопоставляется определенный интегральный показатель , оценивающий итоги его сравнений с остальными объектами, а далее объекты просто упорядочиваются по убыванию значений этого ранжирующего фактора. В моделях второй группы, использующих комбинаторно-логические и теоретико-графовые методы, оцениваются показатели не отдельных объектов, а всего упорядочивания в целом и выбирается упорядочивание, максимизирующее некоторый функционал качества. Оценок важности при этом не делается. Рассмотрим некоторые модели первой группы.

Пусть задано некоторое фиксированное множество объектов , которые сравниваются попарно с точки зрения их предпочтительности, желательности, важности и т.п., а результаты записываются в виде матрицы парных сравнений , отражающей возникающее бинарное отношение предпочтения/безразличия на множестве X. Симметричные элементы матрицы парных сравнений должны выбираться равными, если соответствующие объекты равноценны или несравнимы если же , то должно быть . Кроме того, на элементы матрицы А обычно накладываются дополнительные калибровочные ограничения, однозначно связывающие попарно симметричные элементы . Приведем основные типы калибровок.

1) Простая структура (ПС).

Интерпретация: - индикатор факта превосходства одного объекта над другим или их равноценности (несравнимости).

2) Турнирная калибровка (Т).

Интерпретация: - число очков, набранных игроком во всех встречах с игроком ; число при этом может интерпретироваться как количество таких встреч. Нередко дополнительно постулируется целочисленность матрицы.

3) Кососимметрическая калибровка (К).

Интерпретация: объект х, превосходит в парном сравнении объект

4) Степенная калибровка (С).

Интерпретация: объект превосходит в парном сравнении объект раз.

5) Вероятностная калибровка (В).

Интерпретация: - вероятность превосходства над

Помимо калибровок для полноты анализа можно ввести еще и произвольную взвешенную структуру (ВС), в рамках которой предполагается обычно только неотрицательность матрицы А, сами же ее элементы могут интерпретироваться по-разному.

Переход от матрицы А, заданной в некоторой калибровке, к откалиброванной по-иному матрице В возможен не всегда, но лишь при соблюдении некоторых дополнительных содержательных условий и нередко сопряжен с потерей важной информации. Вопрос о возможности перехода к матрице с другой калибровкой и о путях такого перехода всякий раз должен рассматриваться с учетом содержательных особенностей задачи. Схемы и направления подобных переходов приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Реализация преобразований калибровки

Каждая из моделей линейного упорядочивания требует для матриц парных сравнений определенных калибровочных ограничений.

1) Модели спортивного типа: .

Такое название исторически укоренилось за целой группой сходных моделей, в которых в качестве ранжирующего фактора используется набранная объектом «сумма очков». Обрабатываемая матрица А может иметь калибровку типа Т, ПС или К.

2) Модель интегральной степени превосходства является близкой к моделям спортивного типа; применяется для кососимметрических матриц. Вводится понятие интегральной степени превосходства , оценивающей превосходство над в сравнении с прочими объектами. Когда интегральная степень превосходства задана, ее можно представить в виде при этом , где f - функция полезности на X, и объекты предлагается упорядочивать по убыванию ее значений.

К недостаткам модели можно отнести введение коэффициентов — весов объектов, однако таких весов заранее задано быть не может. Модель сводится к турнирной и самостоятельного интереса не имеет.

3) Модель функции доминируемости ориентирована на обработку нечетких отношений предпочтения, т.е. Применяется для калибровок Т, К.

Функция доминируемости характеризует максимальную силу, с которой объект доминируется остальными объектами множества X. При - абсолютно не доминируется, при - абсолютно доминируется, при - слабо доминируется. Объекты упорядочиваются по убыванию соответствующих значений функции . В [81] используются другие способы получения .

Возможно использование значений в качестве количественных оценок важности объектов. Модель обладает свойствами УМ, ПР, ИС, ИР.

4) Модель Брэдли-Терри пригодна для простых структур без равноценных элементов и целочисленных турнирных матриц.

Каждому объекту сопоставляется его «сила» , причем предполагается, что вероятность превосходства в парном сравнении прямо пропорциональна . Для каждой пары проводится k независимых актов парных сравнений. Окончательно получается:

Система может быть решена итерационно. После вычисления всех s, объекты упорядочиваются по их убыванию.

Получаемые компоненты нормализованного вектора s могут служить количественными оценками важности объектов. Выполняются свойства ИС, ИР.

5) Модель Бэржа-Брука-Буркова применяется для обработки простых структур, матриц с турнирной и степенной калибровками.

Каждому объекту ставится в соответствие цепочка так называемых интегрированных сил, в которой сила порядка определяется как сумма элементов строки в матрице

При имеет место где нормализованный собственный вектор матрицы А отвечает максимальному по модулю собственному числу теоремы Перрона-Фробениуса.

Модель обладает свойствами ИР, УМ; Т (при ). Получаемые значения компонент собственного вектора могут служить оценкой важности объектов.

6) Стохастическая модель Ушакова предложена для обработки матриц, заданных в степенной и вероятностной калибровках.

Матрица А преобразуется в вероятностную матрицу Р, где - вероятность превосходства над

При калибровке (23) .

При калибровке (22) .

Строится стохастическая матрица .

где - минор получаемый из вычеркиванием столбца и i-той строки.

Упорядочивание х, производится по .

Обладает свойствами УМ, ПР. Получаемые компоненты финального распределения могут использоваться в качестве количественных оценок важности объектов.

Не обладает свойствами ИС, ИР.

7) Модель равномерного сглаживания применяется для положительных матриц с калибровкой Т или С.

По аксиоме Льюса для калибровки Т имеет место: .

Обозначая , получаем , так что матрица может быть восстановлена по любой строке.

В данной модели от исходной матрицы А необходимо перейти к матрице Z и построить различных матриц полагая, что матрица порождается строкой матрицы Z по формуле , причем . Проделав преобразования в итоге получим .

Обладает свойствами ИР, Т, УМ, ПР. Получаемые коэффициенты можно использовать для количественной оценки важности объектов.

Выбор модели упорядочивания с теми свойствами, которые особенно желательны в данном конкретном случае, представляется весьма полезным в системах поддержки принятия решений [8]. Модели типа: модель функции доминируемости, Брэдли-Терри, Бержа-Брука-Буркова, стохастическая модель Ушакова, модель равномерного сглаживания предлагают гораздо более убедительные доводы в пользу соответствующих оптимальных упорядочиваний. Модель Брэдли-Терри пригодна для простых структур и целочисленных турнирных матриц, которые не учитывают неточность, неопределенность в оценках экспертов. Стохастическая модель Ушакова скорее ориентирована на вероятностный класс неопределенностей, в отличие от нее модель Бержа-Брука-Буркова и модель функции доминируемости позволяют учитывать неопределенность явлений, не поддающихся измерению со сколь угодно большой точностью и с учетом нечеткости соответственно. Модель равномерного сглаживания не обладает свойством ИС, что не позволяет экспертам производить неполные сравнения. В [8] утверждается, что модель Бержа-Брука-Буркова также не обладает свойством ИС, однако в [93] указан подход к выявлению приоритетов для неполной матрицы на основе данной модели. Таким образом, для линейного упорядочивания в условиях неопределенности предпочтительнее пользоваться моделями функции доминируемости и Бержа-Брука-Буркова. Рассмотрим методы ПР, ориентированные на выделенные модели. Кроме них, в монографии рассматриваются также качественные методы ПР, процедуры сравнения объектов в которых ориентированы на качественные оценки экспертов, что облегчает опрос экспертов, позволяя оперировать терминами, свойственными конкретной предметной области (рис. 3.2).

(см. скан)

Рис. 3.2. Классификация моделей и методов приятия решений в условиях неопределенности