2.2. Иерархии и приоритеты

Первым этапом МАИ является построение иерархии, отражающей процесс принятия решений. Иерархии рассматриваются в [93] как специальный тип упорядоченного множества или частный случай графа. Первая интерпретация выбрана в качестве основы формального определения, а вторая - в качестве иллюстрации. Изложим некоторые математические основы иерархий.

Частично упорядоченным множеством называется множество S с бинарным отношением , которое удовлетворяет законам рефлексивности, антисимметричности и транзитивности:

Рефлексивность: для всех .

Антисимметричность: если , то .

Транзитивность: если , то .

Для любого отношения такого типа можно определить , что означает .

Говорят, что у покрывает (доминирует) если и если невозможно ни для какого

Упорядоченные множества с конечным числом элементов могут быть удобно представлены направленным графом. Каждый элемент системы представлен вершиной так, что дуга направлена от а к b, если

Вполне упорядоченное множество (также называемое цепью) есть упорядоченное множество со следующим дополнительным свойством: если , то или или .

Вводится обозначение покрывает покрывает для любого элемента в упорядоченном множестве.

Пусть Н - конечное частично упорядоченное множество с наибольшим элементом b. Н есть иерархия, если выполняются следующие условия:

1. Существует разбиение Н на подмножества где

2. Из следует, что .

3. Из следует, что

Для каждого существует весовая функция (сущность ее зависит от явления, для которого строится иерархия)

Множества являются уровнями иерархии, а функция есть функция приоритета элемента одного уровня относительно цели х.

Пример. Рассмотрим иерархию Н, построенную для задачи выбора руководителя из трех кандидатов. Элементами множества Н в данном случае являются цель задачи и факторы, на нее влияющие, а также кандидаты на должность руководителя.

Рис. 2.2. Иерархия задачи «Выбор руководителя»

Н = {руководитель, организационные способности, профессионализм, личная активность, коммуникабельность, внимание к подчиненным, авторитет среди подчиненных, кандидат 1, кандидат 2, кандидат 3}.

Для иерархии выполняются все условия определения.

1. Существует разбиение множества Н на подмножества , где L1 = {Руководитель}, L2 = {организационные способности, профессионализм, личная активность, коммуникабельность, внимание к подчиненным, авторитет среди подчиненных}, L3 = {кандидат 1, кандидат 2, кандидат 3}.

2. Рассмотрим Руководитель в этом случае (аналогичные выводы справедливы и для всех других ).

3. Рассмотрим кандидат 1 в этом случае (аналогичные выводы справедливы и для всех других ).

Определим весовую функцию для элемента — Руководитель. Эта функция ставит в соответствие качествам руководителя (элементам уровня ) значения из отрезка [0, 1] и определяет приоритет этих качеств относительно

цели - «Руководитель». Весовая функция задается субъективно экспертами. К примеру, она может быть такой:

Основная задача МАИ заключается в следующем: как определить для любого заданного элемента и подмножества функцию чтобы она отражала свойства функций приоритетов на уровнях . В частности, что это за функция .

В [93, 94] предлагается следующий метод решения основной задачи. Предположим, что . Пусть также существует элемент . Рассмотрим функции приоритетов

где - количество объектов на к-ом уровне иерархии.

Обозначим функцию приоритета элемента относительно цели . В [93] такая функция задается в виде . То есть, происходит процесс взвешивания показателя влияния элемента у. на приоритет элемента путем умножения этого показателя на важность элемента у. относительно z. Если из образовать матрицу В, положив , то окончательная формула примет вид: . Такое взвешивание производится для каждого уровня иерархии.

Рассматривая процесс взвешивания на всей иерархии, получаем формулу вектора приоритетов самого низкого уровня относительно цели , где h - количество уровней в иерархии, W - приоритет элементов первого уровня иерархии (в большинстве случаев первый уровень состоит из одного элемента - цели процесса принятия решений, в этом случае W - скаляр).