Нечеткие логические формулы и их свойства

Определение. Нечеткая высказывательная переменная х. - это нечеткое высказывание, степень истинности которого может принимать произвольное значение из отрезка [0; 1].

Определение. Нечеткой логической формулой называется:

а) любая нечеткая высказывательная переменная или константа из [0; 1],

б) выражение полученное из нечетких логических формул применением к ним любого конечного числа логических операций.

В частности составные нечеткие высказывания также являются нечеткими логическими формулами, если рассмотреть образующие их простые нечеткие высказывания как нечеткие высказывательные переменные.

Определение. Степень равносильности формул и обозначается и определяется

Если степень равносильности нечетких логических формул на всех определенных наборах степеней истинности высказывательных переменных больше или равна 0,5, то такие формулы будем называть нечетко близкими на этих наборах и обозначать .

Если , то формулы не являются нечетко близкими: .

Заметим, что при формулы одновременно являются и не являются нечетко близкими. Их называют взаимно индифферентными и обозначают .

Равносильность четких логических формул является частным случаем нечеткой близости.

Если на одних и тех же наборах степеней истинности переменных принимают одни и те же значения степени истинности, то значение степени их равносильности всегда больше или равно 0,5, что является частным случаем нечеткой близости. То есть, нечеткие логические формулы, имеющие на одних и тех же наборах переменных одинаковые степени истинности не равносильны, а имеют некоторую степень равносильности , но всегда .

Пример.

Определить степень равносильности формул , где принимает значение степени истинности из множества дискретных значений из {0,3; 0,4}.

Решение.

. Выбирая все возможные наборы степеней истинности , запишем

Откуда следует, формулы нечетко близки при заданных наборах степеней истинности.

Если сделать такую же проверку, полагая, что принимает значение из набора из , то . И в этом случае формулы не являются нечетко близкими.

Определение. Если при всех определенных значениях степени истинности нечетких переменных значение степени истинности нечеткой логической формулы больше или равно 0,5, то формула является нечетко истинной на данных наборах переменных и обозначается через . Если значение степени истинности меньше или равно 0,5, то такую формулу будем называть нечетко ложной на данных наборах переменных и обозначим

Пусть - некоторые нечетко истинные и нечетко ложные формулы на одних и тех же наборах переменных, тогда справедливы следующие соотношения.

Если - произвольные нечеткие логические формулы, то справедливы соотношения:

где определены на одних и тех же наборах переменных.

Пример.

Приведем простейший пример нечетко истинных и нечетко ложных формул.

Это следует из определения операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, .

Тождества позволяют определить класс нечетко близких формул, не имеющих аналогов в нечеткой логике.

Соотношения, справедливые для любых наборов значений истинности нечетких переменных.

Пусть - нечеткие логические формулы.

Кроме того, пусть - константы и , тогда

Для доказательства каждого из выражений необходимо показать, что степень равносильности образующих его формул больше или равно 0,5.

Это возможно тогда, когда формулы принимают одни и те же значения степени истинности на одинаковых наборах переменных либо имеют степень истинности одновременно меньше или равно 0,5 или больше или равно 0,5 на одинаковых наборах переменных.

Докажем формулу (6) обозначим

Если , тогда , т.е. при всех у степени истинности формул совпадают, откуда следует .

Если , то , откуда следует .

Если , то , откуда следует .