Нечеткие соответствия и отношения

В методе принятия решений при нечеткой исходной информации [81] и в качественных методах принятия решений [64] существенно используются понятия соответствий, отношений, нечетких соответствий и отношений, операций над ними.

Нечетким соответствием между множествами X и Y называется и через обозначается тройка множеств, в которой X, Y - произвольные четкие множества, - нечеткое множество в . Подобно названиям элементов четкого соответствия множество X называют областью отправления, множество Y - областью прибытия, а - нечетким графиком нечеткого соответствия.

Назовем носителем нечеткого соответствия соответствие , у которого график является носителем нечеткого графика .

Нечеткое соответствие может быть задано теоретико-множественно, графически и в матричном виде.

Для теоретико-множественного задания нечеткого соответствия необходимо перечислить элементы множеств X и Y и задать нечеткое множество в .

В матричном виде нечеткое соответствие задается с помощью матрицы инциденций строки которой помечены элементами столбцы - элементами , а на пересечении строки и столбца ставится элемент , где - функция принадлежности элементов из нечеткому графику.

Нечеткое соответствие можно задать в виде ориентированного графа с множеством вершин каждой дуге которого приписано значение функции принадлежности.

Пример.

Зададим некоторое нечеткое соответствие , определив X и как .

Матрица инциденций и граф нечеткого соответствия изображены на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Графическое и матричное задание нечеткого соответствия .

Нечетким отношением на непустом множестве X называется и через обозначается пара множеств, в которой является нечетким подмножеством .

Множество X называется областью задания, а - нечетким графиком отношения. Нечеткие отношения можно задавать теоретико-множественно, графически и в матричном виде. В методе принятия решений используется матричное задание нечетких отношений: отношение задается с помощью матрицы смежности на пересечении каждой строки

и столбца ставится элемент , где - функция принадлежности элементов из нечеткому графику . Свойства нечетких отношений [64, 81].

Рефлексивность. Нечеткое отношение R на множестве X называется рефлексивным, если для любого выполняется равенство . Нечеткое отношение R на множестве X называется антирефлексивным, если для любого выполняется равенство .

Связность. Нечеткое отношение R на множестве X называется связным, если для любого выполняется неравенство или .

Симметричность. Нечеткое отношение R на множестве X называется симметричным, если для любого из

Антисимметричность. Если для любых , то такое отношение будет являться антисимметричным.

Транзитивность. Если для любых функция принадлежности нечеткого отношения R на множестве X удовлетворяет неравенству то такое отношение называется транзитивным.

Отношение R называется транзитивным, если таких, что следует

Квазипорядок. Отношение R называют квазипорядком, если оно рефлексивно и транзитивно.

Отношение R называют отношением строгого предпочтения, если оно антисимметрично и транзитивно.

Отношение R называют отношением безразличия, если оно симметрично и транзитивно.

Для получения матрицы композиции отношений используется максминное произведение соответствующих матриц. Если Т и S - нечеткие отношения, то их максминное произведение