Теоретико-множественные операции

Пусть заданы нечеткие подмножества множества X.

Определение. Объединением нечетких множеств является множество функция принадлежности элементов к которому определяется как (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Объединение нечетких множеств

Т.е. - это нечеткое множество, такое, что и .

Определение. Пересечением нечетких множеств называется множество , функция принадлежности элементов к которому определяется как (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Пересечение нечетких множеств

Т.е. - это нечеткое множество, такое, что и .

Определение. Дополнением нечеткого множества называется множество такое, что .

Пример.

Рассмотрим нечеткое множество В чисел, гораздо больших нуля.

Дополнением к этому множеству будет являться множество чисел, гораздо меньших нуля (рис. 2.7.).

Рис. 2.7. Дополнение нечеткого множества

Определение. Разностью нечетких множеств называется множество , функция принадлежности элементов к которому определяется как .

Определение. Симметрической разностью называется множество , где . Пример.

Определение. Выпуклой комбинацией множеств называется нечеткое множество с функцией принадлежности

Определение. Множеством уровня а нечеткого множества называется множество в обычном смысле, составленное из элементов , степени принадлежности которых нечеткому множеству больше или равны .

Определение. Прямым произведением нечетких множеств и называется ичерез обозначается нечеткое подмножество которое определяется выражением , где .

Определение. Композицией нечетких множеств и называется множество

Основные свойства нечетких множеств:

Перечисленные выше основные свойства нечетких множеств еще не являются системой аксиом. Строгая же система аксиом, адекватная, в частности, алгебре нечетких множеств была сформулирована за 7 лет до их возникновения. Соответствующая алгебраическая структура определяется на множестве X с двумя системами операций: или где (символы операций выбраны для простоты формулировок, их не следует воспринимать буквально, как соответствующие арифметические или логические операции).