10. Сумма множеств

Суммой (или, иначе, объединением) двух множеств называют множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы одного из этих множеств. Сумму множеств А и В обозначают

через А и Как легко видеть, сумма множеств обладает свойствами, подобными свойствам суммы чисел: коммутативностью (переместительностью) и ассоциативностью (сочетательностью), т. е. для любых двух множеств А и В мы имеем , а для любых трех множеств А, В, С имеем . Аналогично определяют сумму большего, даже бесконечного количества множеств: это множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы одного из слагаемых.

Легко доказать, что сумма двух счетных множеств также есть счетное множество. Пусть

— два счетных множества. Образуем счетную последовательность, выписывая поочередно по одному члену из каждой из двух последовательностей (2), т. е. образуем последовательность

Множество всех членов последовательности (3) будет, очевидно, суммой множеств членов последовательностей (2). Если у этих последовательностей имеются одинаковые члены, то для получения последовательности, содержащей толвко различные члены и являющейся суммой множеств членов последовательностей (2), достаточно из последовательности (3) исключить каждый член, равный какому-либо из предшествующих членов.

Аналогично можно легко доказать, что сумма трех и, вообще, любого конечного числа счетных множеств есть счетное множество. Докажем теперь, что сумма счетного множества счетных множеств тоже есть счетное множество.

Допустим, что мы имеем бесконечную последовательность бесконечных последовательностей . Члены последовательности обозначим через Сумма множеств членов наших последовательностей будет, следовательно, множеством всех членов такой бесконечной таблицы:

Теорема будет доказана, если мы покажем, что все элементы этой таблицы можно расположить в виде обыкновенной бесконечной последовательности. Это можно сделать с помощью так называемого диагонального метода, а именно, выписывая сперва единственный член, у которого сумма нижнего и верхнего индексов составляет 2, затем два члена с суммой индексов 3, далее три члена с суммой индексов 4 и т. Мы получим таким образом обыкновенную бесконечную последовательность

Если, в частности, принять то бесконечная последовательность (4) содержала бы все рациональные положительные числа, причем каждое из них — бесконечное число раз, так как . Чтобы получить бесконечную последовательность, в которой каждое рациональное положительное число встречается один и только один раз, достаточно оставить в нашей последовательности только несократимые дроби. Мы видим, таким образом, что множество всех положительных рациональных чисел счетно. Ясно также, что и множество всех отрицательных рациональных чисел счетно, а поскольку сумма двух счетных множеств есть счетное множество, мы можем расположить в бесконечную последовательность все рациональные числа, отличные от нуля, а добавив к ее началу число 0, получаем теорему, что множество всех рациональных чисел счетно.