20. Заполнение щелей
Если данное упорядоченное множество
имеет щели, то их можно заполнить, добавляя к множеству
новые элементы следующим образом. Каждому сечению
образующему щель, мы ставим в соответствие новый элемент (не принадлежащий
который мы считаем самым последним из всех элементов класса А и предшествующим всем элементам класса В. Из двух таких присоединенных элементов, соответствующих, например, сечениям
мы считаем первый предшествующим или последующим второму в зависимости от того, является ли класс Л подмножеством (собственным) класса
или же наоборот.
Можно показать, что, прибавляя эти новые элементы к множеству V, мы получим новое упорядоченное множество V, уже не имеющее щелей.
Применение этого метода для заполнения щелей в множестве всех рациональных чисел соответствует теории иррациональных чисел Дедекинда.