14. Сравнение мощностей бесконечных множеств

Займемся теперь вопросом, каким образом сравнивать между собой мощности бесконечных множеств, которые имеют неодинаковую мощность. Если множество А имеет одинаковую мощность с какой-то частью множества В, а множество В не равномощно никакой части множества А, то естественно будет считать мощность множества В большей, чем мощность множества А. Таким образом, мощность множества всех действительных чисел больше мощности множества всех натуральных чисел.

Мы знаем уже две разные мощности бесконечных множеств: мощность счетных множеств и мощность множества всех действительных чисел, или так называемую мощность континуума. Возникает вопрос, можно ли доказать, что существуют и другие мощности бесконечных множеств и, в частности, существуют ли бесконечные множества с мощностью, большей мощности континуума.

Можно доказать, что таковым является, например, множество всех различных множеств действительных чисел. Создатель теории мощностей Г. Кантор доказал, что мощность множества всех различных частей каждого данного непустого множества всегда больше мощности самого этого множества. Отсюда вытекает, что существует бесконечно много разных мощностей бесконечных множеств. Возникает еще вопрос, что будет, если множество А имеет равную мощность с какой-то частью множества В, а множество В равномощно какой-то части множества А. Оказывается, можно доказать, что в этом случае множества А и В равномощны. Это так называемая теорема Кантора-Бернштейна.

Г. Кантор высказал также более общую гипотезу, чем континуум-гипотеза. Эта обобщенная континуум-гипотеза равносильна следующему утверждению:

Если есть произвольное бесконечное множество, а Т - множество всех различных частей множества тоне существует множества, мощность которого была бы больше мощности множества и меньше мощности множества

Континуум-гипотеза является частным случаем этой обобщенной гипотезы, если в качестве множества взять множество всех натуральных чисел.