2. Движения множеств

Совершенно очевидно, что не существует множества точек на прямой, содержащего более одной точки и не имеющего ни одной

общей точки с любым своим движением. В то же время легко привести пример бесконечного множества точек прямой, имеющего с любым своим движением не более одной общей точки. Таким является, например, множество точек прямой с абсциссами где доказать, что для того чтобы множество точек на прямой обладало этим свойством, необходимо и достаточно, чтобы расстояния между любыми двумя его точками были все различны.

При рассмотрении движений множеств точек на прямой возникает вопрос: сколько для данного множества точек прямой имеется множеств, конгруэнтных при движении? Ответ на этот вопрос зависит, очевидно, от множества

Обозначим, Для данного множества точек прямой, через семейство всех множеств, конгруэнтных при движении. Если — множество всех точек прямой, то семейство состоит, очевидно, из одного только множества, которым является множество Как нетрудно заметить, это единственный случай, когда семейство состоит только из одного множества. В других случаях семейство содержит более одного множества.

Действительно, допустим, что множество точек прямой не является ни пустым, ни множеством всех точек прямой. Существует в таком случае точка а, принадлежащая множеству и точка не принадлежащая Очевидно, что точка принадлежит множеству (так как при сдвиге множества на точка а переходит в точку Следовательно, множества и различны.

Возникает вопрос, существует ли множество точек прямой, для которого семейство состояло бы из конечного числа множеств? Докажем, что ответ на этот вопрос является отрицательным. С этой целью доказывается сначала следующая

Лемма. Пусть есть натуральное число, большее 1. Если для множества точек прямой существует действительное число а такое, что множества

все различны, то существует также другое действительное число такое, что множества

все различны.

Доказательство. Допустим что для действительного числа а множества (1) являются все различными, и пусть Если бы не все множества (2) были различными, существовали бы целые числа такие, что

Поскольку и множества (1) все различны, мы имеем . В силу (3) поэтому не может быть

Из условия вытекает, следовательно, что Очевидно, что если для действительных чисел то также . В соответствии с (3) мы имеем, следовательно,

Но из равенства следует равенство для целых следовательно, равенство (4) влечет за собой равенство

для целых откуда, в частности, для при находим

где — одно из чисел последовательности что противоречит условию, что все множества (1) различны. Следовательно, множества (2) должны быть все различны, и наша лемма доказана.

Пусть теперь означает множество точек прямой, которое не является ни пустым, ни множеством всех точек прямой. Как мы уже знаем, семейство состоит из более чем одного множества, и, следовательно, существует такое действительное число а, что Условие нашей леммы выполнено, следовательно, для По индукции из нашей леммы вытекает, следовательно, что для любого натурального числа семейство содержит по меньшей мере разных множеств. Семейство не может, следовательно, быть конечным. Таким образом, доказана

Теорема 5. Если есть, множество точек прямой, непустое и не содержащее всех точек прямой, то на прямой существует бесконечно много различных множеств, конгруэнтных множеству при сдвиге.

Возникает вопрос, существует ли множество для которого семейство счетно, т. е. состоит из бесконечной последовательности различных множеств. Существование такого множества можно доказать с помощью аксиомы выбора, однако мы не знаем ни одного конкретного примера такого множества. С помощью аксиомы выбора можно даже доказать, что на прямой существуют множество точек и бесконечная последовательность множеств точек не имеющих попарно общих точек, такие, что любое множество точек прямой, конгруэнтное множеству при сдвиге, является одним из членов этой последовательности, и наоборот.

Легко привести пример такого множества точек прямой, что любой его сдвиг или совпадает с множеством или не имеет с множеством ни

одной общей точки. Таким является, например, множество всех точек прямой с целыми абсциссами, а также множество всех точек прямой с рациональными абсциссами.

Э. Чех (Е. Сесh) доказал, что существует непустое множество точек прямой, не являющееся множеством всех точек прямой, и такое, что для любого действительного числа а среди множеств бесконечной последовательности

имеется только конечное число различных.