4. Пустое множество

Оказалось удобным ввести понятие пустого множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Без этого понятия нельзя было бы, например, говорить о множестве всех корней какого-либо данного уравнения

если бы мы заранее не знали о существовании хотя бы одного его корня.

Часто бывает трудно определить, является ли данное множество пустым или нет. Мы не можем, Например, решить, является пустым или нет множество всех решений в целых числах уравнения В то же время легко показать, что множество всех решений этого уравнения в целых положительных числах является пустым.

Мы не знаем никакого метода, который дал бы возможность решить, является определенное выше множество пустым или нет. Иначе обстоит дело с множеством всех решений в целых положительных числах уравнения В этом случае мы знаем метод, с помощью которого можно решить вопрос о том, является множество пустым или нет, но необходимые для этого вычисления (деление числа на некоторые числа так трудоемки, что в настоящее время не могут быть выполнены.

Интересно, что для множества всех решений в целых положительных числах уравнения недавно было доказано, что оно не является пустым, но до сих пор мы не знаем ни одного из элементов множества хотя известен метод, с помощью которого можно было бы определить все его элементы.