8. Равномощные множества

Если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества равномощны (или, иначе, эквивалентны). Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же число элементов. Понятие равномощ-ности применимо и к множествам, не являющимся конечными; например, как мы видели, множество всех нечетных положительных чисел равномощно множеству всех четных чисел, больших ста.

В этом случае, однако, могут иметь место факты, которые на первый взгляд кажутся парадоксальными.

Так, например, множество всех натуральных чисел равномощно множеству всех четных положительных чисел. Взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств можно, например, установить, сопоставив каждому натуральному числу вдвое большее положительное число. Мы имеем здесь, следовательно, пример бесконечного множества, равномощного некоторой своей правильной части. Не существует ни одного конечного множества, равномощного какой-либо своей правильной части. Возникает вопрос, каждое ли бесконечное множество равномощно какой-либо своей правильной части. На этот вопрос мы не сможем ответить, не принимая специальных аксиом. Однако о многих бесконечных множествах, встречающихся в математике, можно доказать, что они равномощны некоторой своей правильной части. Мы вернемся еще к этому вопросу позже.

Чтобы выразить, что два множества М и равномощны, пишут Как легко заметить, отношение — является симметричным (т. е. из следует ) транзитивным (т. е. из следует ) и рефлексивным (т. е. для любого множества М).