6. Равночисленные множества

При изучении множеств в теории множеств мы абстрагируемся или от природы и порядка их элементов, или же только от их природы и обращаем внимание на их порядок, о чем будет сказано ниже.

Чем же, однако, могут отличаться друг от друга два множества, если мы отвлекаемся от природа и порядка их элементов? Два множества могут отличаться своей численностью.

Можем ли мы установить, равночисленны ли два множества или которое из них, быть может, многочисленнее, не зная понятия числа?

Допустим, что у нас есть два коробка спичек: в одном —белые спички, в другом — Красные. Вынем из каждого коробка по одной спичке (следовательно, одну белую и одну красную) и отложим их в сторону. Из оставшихся вынем снова по одной спичке из каждого коробка и вновь отложим их в сторону. Вынимая таким образом последовательно по одной спичке из каждого коробка, мы либо исчерпаем оба коробка одновременно, либо один из коробков окажется пустым, когда в другом еще останутся спички. Первый случай, очевидно, будет иметь место тогда и только тогда, когда в обоих коробках было одно и то же число спичек, во втором случае коробок, оставшийся пустым, когда в другом еще были спички, содержал меньше спичек.

Таким образом, желая убедиться, равночисленны ли два данные множества, мы не должны обязательно пересчитывать элементы этих множеств; достаточно последовательно брать попарно по одному элементу из каждого из этих множеств. Два множества будут равночисленными тогда и только тогда, если, выбирая попарно по одному элементу из каждого из этих множеств, мы исчерпаем их одновременно. Результат не будет зависеть от порядка извлечения элементов из каждого из двух данных конечных множеств.