24. Функции

Пусть X и Y — два каких-либо данных множества. Если каждому элементу х множества X соответствует определенный элемент у множества то говорят, что в множестве X определена функция, значениями которой являются элементы множества (впрочем, не обязательно все). Таким образом мы получаем самое общее понятие (однозначной) функции. Элемент у множества соответствующий данному элементу х множества X, обозначают

через . Множество всех элементов соответствующих элементам х множества X, обозначают через и называют отображением множества X на множество У (или соответственно на часть множества или образом множества X. Если то через обозначают множество всех элементов где элемент множества Легко доказать, что если всегда и аналогично для произвольного конечного или бесконечного числа слагаемых, и что всегда но не обязательно имеет место Например, если X является множеством чисел 1, 2, 3, а функция определена условиями и если является множеством чисел 1 и 2, а множеством чисел 2 и 3, то, как легко проверить, и следовательно, и являются множествами, состоящими из чисел 1 и 2. В то же время множество образовано одним только числом 2, и поэтому здесь мы имеем Поэтому образ суммы произвольного числа множеств всегда является суммой их образов, а образ пересечения произвольного числа множеств всегда содержится в пересечении их образов. Однако образ пересечения двух множеств может не быть равен пересечению образов этих множеств.

Если различным элементам множества X всегда соответствуют разные элементы множества У, говорят, что функция разнозначна, или обратима. Такая функция, очевидно, устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и Легко доказать, что если функция определенная для элементов х множества X, является обратимой, то для произвольного числа множеств, содержащихся в X, образ их пересечения является пересечением их образов.