32. Односторонние поверхности

Во второй половине XIX века И. Б. Листинг и А. Ф. Мёбиус открыли существование односторонних поверхностей. Возьмем прямоугольный листок бумаги, основание которого значительно (скажем, в 8 раз) длиннее его высоты (рис. 5). Перекрутим теперь этот бумажный прямоугольник и склеим его короткие стороны так, чтобы точка С совпала с точкой А, а точка — с точкой В. Полученную таким образом поверхность называют листом Мёбиуса (рис. 6). Край этого «листа» образует одну непрерывную линию. С любой точки листа муравей мог бы попасть в любую другую его точку, не пересекая край. Если с какого-либо места начать красить лист, например, в зеленый цвет, то весь лист будет окрашен в этот цвет полностью, и не будет другой стороны, которую можно было бы окрасить в другой цвет. Эта поверхность имеет, следовательно, только одну сторону, а не две, как например поверхность полусферы, где мы можем одну сторону, например внутреннюю, окрасить в зеленый цвет,

а другую, наружную — в красный, таким образом, что две разные краски встретятся только на краю поверхности.

Разрежем теперь нашу ленту по средней линии, параллельной ее краям. Мы получим в этом случае двустороннюю замкнутую поверхность, но перекрученную. Если бы мы полученную поверхность разрезали еще раз по ее средней линии, параллельной краям, мы получили бы две замкнутые двусторонние поверхности, но переплетенные так, что их нельзя отодвинуть одну от другой на произвольное расстояние.

Рис. 5

Рис. 6

Если же разрезать лист Мёбиуса вдоль линии, параллельной его краю и отстоящей от него на одну треть ширины ленты, то мы получим лист Мёбиуса (в три раза более узкий) и замкнутую двустороннюю перекрученную поверхность (аналогично той, что в первом случае), причем эти поверхности, подобно звеньям цепи, нельзя будет, не разрывая, раздвинуть на произвольное расстояние

Советуем читателю самому соорудить эти простые фигуры из бумаги и на собственном опыте убедиться, как это все происходит.