18. Подобные упорядоченные множества

О двух упорядоченных множествах говорят, что они подобны, если между их элементами имеется взаимно однозначное соответствие, при котором для любых двух разных элементов множества предшествующему элементу множества соответствует предшествующий элемент множества

Легко доказать, что любые два конечных упорядоченных множества с одним и тем же числом элементов подобны. Иначе дело обстоит для счетных множеств. Например, множество всех натуральных чисел, упорядоченных по их величине, не является подобным множеству всех целых чисел, упорядоченных по их величине, так как первое из них имеет первый элемент, т. е. предшествующий любому другому элементу этого множества (число 1), второе же множество такого элемента не имеет.

Счетное множество кроме упорядочения по порядку индексов, можно упорядочить, например, так:

Никакие два из этих упорядочений не являются подобными.

Можно доказать, что счетное множество можно упорядочить бесчисленно многими способами, никакие два из которых не являются подобными. Доказательства некоторых, казалось бы, простых теорем об упорядоченных множествах трудны. Так обстоит дело, например, со следующими двумя теоремами:

Любое упорядоченное счетное множество подобно некоторой своей правильной части.

Существует упорядоченное несчетное множество, которое не является подобным ни одной своей правильной части.

Можно доказать, что любое упорядоченное счетное множество подобно некоторому множеству рациональных чисел, упорядоченному по их величине