25. Декартово произведение

Декартовым (или прямым) произведением множеств или просто их произведением, называют множество всех упорядоченных пар первым членом которых является какой-либо элемент множества вторым — какой-либо элемент множества Декартово произведение множеств X, и обозначают через Функция определенная для всех элементов множества X, значениями которой являются элементы множества У, определяет некоторую часть множества образованную из всех пар , где х — какой-либо элемент множества X. Для того чтобы данное подмножество множества определяло какую-то функцию элементов х множества X, значениями которой являются элементы множества У, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента

х множества X в подмножестве существовала одна и только одна пара первым членом которой является элемент вторым — определенный элемент множества

В частности, если то множество называют декартовым квадратом множества X. Исследование комплексных чисел является исследованием декартова квадрата множества всех действительных чисел. Декартовы квадраты играют важную роль в теории отношений.

Говорят, что между элементами данного множества X имеется определенное отношение , если дано некоторое подмножество I множества Говорят, что между элементами множества X существует отношение если упорядоченная пара принадлежит подмножеству I множества В этом случае пишут