12. Континуум-гипотеза

Существуют, таким образом, бесконечные множества разной мощности, например, множество всех натуральных чисел и множество всех точек прямой. Возникает вопрос, существуют ли на прямой несчетные множества точек, которые не были бы равномощными. На этот вопрос мы не можем дать ответа. Предположение, что любое несчетное множество точек прямой имеет равную мощность с множеством всех точек прямой, носит название континуум-гипотезы. Эта гипотеза (высказанная создателем теории множеств Г. Кантором) до сих пор не доказана, но К. Гёдель доказал, что она не противоречит общепринятым аксиомам теории множеств (если только эти последние непротиворечивы). Я посвятил континуум-гипотезе специальную книгу, изданную в 1934 г, на французском языке (Hypothese du Continu), второе издание этой книги вышло в 1956 г. в Нью-Йорке. В 1951 г. я доказал, что континуум-гипотеза равносильна следующей теореме, в формулировке которой не участвует понятие бесконечности: Если из точки О трехмерного пространства провести три взаимно перпендикулярные прямые то множество всех точек пространства

является суммой трех множеств, из которых первое конечно на любой пряной, параллельной прямой второе конечно на любой прямой, параллельной прямой третье конечно на любой прямой, параллельной прямой

Положение точки на плоскости может быть, как известно, определено с помощью пары действительных чисел, так называемых координат точек, каковыми являются расстояния рассматриваемой точки от двух заданных на плоскости взаимно перпендикулярных прямых, называемых осями ординат. Оказывается, однако, что положение каждой точки на плоскости может быть также определено с помощью только одного действительного числа. Доказательство основывается на утверждении, что каждое действительное число имеет одно и только одно представление в виде бесконечной десятичной дроби, имеющей бесконечно много цифр, отличных от нуля.

Докажем, основываясь на этом, что множество Р всех пар действительных чисел таких, что

является равномощным с множеством всех действительных чйсел таких, что

Пусть означает данную пару, принадлежащую множеству Р. Представим числа х и у в виде десятичных дробей, имеющих бесконечно много цифр, отличных от нуля. Пусть это будут, например, дроби

Перепишем теперь по порядку цифры наших дробей, находящиеся после запятой, ставя вертикальную черту после каждой цифры, отличной от нуля. Таким образом получим из каждой дроби бесконечную последовательность групп цифр:

Вставив теперь группы второй последовательности между очередными группами первой последовательности, получим новую бесконечную последовательность групп цифр:

Опустим теперь в этой последовательности черточки. Полученная таким образом бесконечная последовательность цифр будет представлением в виде десятичной дроби некоторого числа

которое мы ставим в соответствие паре

Легко заметить, что это взаимно однозначное соответствие между элементами множеств . Следовательно, эти множества имеют равную мощность.

Отсюда легко можно вывести следствие, что множество всех точек плоскости является равномощным множеству всех точек прямой. Аналогично можно доказать, что множество всех точек трехмерного пространства равномощно множеству всех точек прямой.

В качестве примера двух несчетных множеств равной мощности приведем множества точек двух каких-либо отрезков прямой которые мы расположим под прямым углом, так, чтобы они являлись катетами треугольника (рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3

Соответствующими точками наших отрезков будем считать точки, лежащие на одной прямой, параллельной гипотенузе (например, точки М и N).

Такое условие, очевидно, устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками наших отрезков.

Можно также легко установить взаимно однозначное соответствие между всеми внутренними точками конечного отрезка и всеми точками бесконечной прямой. Для этого расположим конечный отрезок перпендикулярно данной прямой , пересекающей его посередине в точке О (рис. 3).

На прямой, параллельной прямой и проходящей через точку А, возьмем произвольную точку расположенную слева от А, а на прямой, параллельной прямой и проходящей через точку В, возьмем точку расположенную справа от В. Каждой точке М отрезка отличной от А, сопоставим точку прямой , лежащую на пересечении прямой с прямой , каждой же точке Р отрезка отличной от В, сопоставим точку прямой

р, лежащую на пересечении прямой с прямой . Как легко видеть, таким образом будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми точками отрезка (за исключением его концов) и всеми точками прямой .