3. Конгруэнтность множеств при конечном разбиении

Пусть А и В будут два множества точек на прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве. При данном натуральном говорят, что множества конгруэнтны при разбиении на частей, и пишут , если существуют такие множества что

(Выражение означает, что множество состоит из тех и только тех точек, которые принадлежат хотя бы одному из множеств выражение показывает, что множества не имеют ни одной общей точки.)

Если для данных множеств А и В существует такое натуральное число , что то говорят, что множества А и В конгруэнтны при конечном разбиении, и пишут

Выражение равносильно выражению

Займемся сперва конгруэнтностью множеств при разбиении на две части.

Понятие конгруэнтности геометрических фигур при разбиении на две или более частей хорошо известно из элементарной геометрии и именуется там равносоставленностью. Имеется, однако, существенная разница между определением равносоставленности в элементарной геометрии и приведенным

нами выше определением конгруэнтности множеств при конечном разбиении.

Например, из элементарной геометрии хорошо известно, что прямоугольный равнобедренный треугольник (рис. 7) можно разбить его высотой на два треугольника, из которых можно получить квадрат (поворотом треугольника на 270° вокруг точки В). Это, однако, не доказывает, что треугольник и квадрат конгруэнты при разбиении на две части в принятом нами смысле, ибо треугольники и на которые был разбит треугольник имеют общую сторону

В элементарной геометрии два многоугольника (или многогранника) считают равносоставленными, если они могут быть разложены на конечное и одинаковое число многоугольников (или многогранников), соответственно конгруэнтных друг другу и не имеющих общих внутренних точек. В нашем же значении два множества конгруэнтны при конечном разбиении, если их можно разложить на одно и то же конечное число множеств, соответственно попарно конгруэнтных и не имеющих общих точек.

Рис. 7

Возникает, следовательно, вопрос, конгруэнтны ли при конечном разбиении (в нашем значении) прямоугольный равнобедренный треугольник и квадрат. Ответ на это дает

Теорема 6. Прямоугольный равнобедренный треугольник конгруэнтен при конечном разбиении квадрату.

Доказательство этой теоремы является далеко не легким. Чтобы провести его, нам понадобится предварительно следующая

Теорема 7. Если А, В к С суть множества точек на прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве, такие, что то

(Другими словами, отношение транзитивно.)

Теорема 7, как легко заметить, является непосредственным следствием такого утверждения:

Теорема 8. Если тип — натуральные числа, а А, В и С — множества, такие, что то

Доказательство. Вследствие имеют место разложения

1°, отвечающие условиям 2° и 3°, а вследствие существуют разложения

такие, что

и

Пусть

(через обозначается множество всех точек, принадлежащих одновременно и )

В силу 1°, (1) и (4),

и

Из (4), 2° и (2) следует, что при

Вследствие 3°, (5), 2° и (6) при существуют разбиения

такие, что при

и

Аналогично из (3), (6), (2) и что при существуют разбиения

такие, что

и

Из выражений 1°, (1), (8) и (11) следует, что А является суммой всех множеств где вследствие (10) и (13) имеем при .

Выражения эти с учетом (9) и (12) дают что и требовалось доказать.

Можно доказать, что в теореме 8 число нельзя заменить меньшим числом. Действительно, если А — множество точек прямой с абсциссами

множество точек с абсциссами где и если С — множество точек с абсциссами то легко доказать, что , но не имеет места ни для какого натурального числа

Заметим, что можно доказать, что если где — множество, содержащееся в В, а где множество, содержащееся в А, то

Из теоремы 8 следует (при что если то

В связи с этим возникает вопрос, для любых ли двух множеств точек на прямой, А и С, где существует такое множество В, что

А, Шарма (A. Sharma) доказал, что этого может и не быть. Например, если множество А является совокупностью точек с абсциссами 1, 2, 3 и множеством точек с абсциссами , то, очевидно, но легко доказать, что не существует множества В, для которого было бы

В то же время открытым остается вопрос, существует ли для любых двух множеств А и С, для которых такое множество В, что

Открыт также вопрос о существовании для любых двух множеств А и С, для которых , такого множества В, что . Мы не умеем этого доказать даже в предположении, что множества А и С конечны.

Лемма. Квадрат К (внутренняя область вместе с периметром) конгруэнтен при разбиении на три части мнозкеству, образованному из этого же квадрата К и из лежащего вне его полуинтервала произвольной длины, меньшей половины стороны квадрата К

Доказательство. Пусть К будет квадрат со сторонами длиной 1 и пусть О — центр этого квадрата. Из центра О проведем отрезок прямой ОА, длиной меньшей Пусть а — некоторый угол, несоизмеримый с прямым углом. Повернем в каком-либо направлении отрезок О А на угол а, а затем на углы 2а, 3а и т. д. (ср. доказательство теоремы 2.) Мы получим таким образом бесконечную последовательность отрезков с общей точкой О. Если удалить точку О, то множество всех точек наших отрезков будет конгруэнтно (при повороте на угол а) множеству всех точек отрезков (без точки О). Это последнее множество обозначим через через обозначим множество точек отрезка без точки О

и, наконец, через — множество всех точек квадрата К (внутренних и периметра), которые останутся после исключения из него множеств Очевидно, что причем никакие два из множеств не имеют общих точек. Пусть

Пусть теперь есть множество, состоящее из всех точек квадрата К и из множества точек некоторого отрезка с точкой С, но без точки В, расположенного вне квадрата К и равного по длине отрезку Тогда причем никакие два из множеств не имеют общих точек. Очевидно, что Отсюда следует, что что доказывает справедливость нашей леммы.

Мы можем теперь перейти к доказательству теоремы 6.

Рис. 8

Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник (рис. 8) с высотой равной 1, и, следовательно, с катетами, равными Как известно, Разделим отрезок в точке на отрезок длиной 1 и отрезок длиной . Разобьем теперь треугольник на пять множеств, никакие два из которых не имеют общих точек: множество — треугольник (внутренние точки вместе с периметром), множество всех точек отрезка без точки О, множество всех точек отрезка без точек множество всех точек отрезка без точки С и множество всех внутренних точек треугольника Пусть, далее, К. есть множество всех точек квадрата (внутренних и периметра), — отрезок, равный по длине отрезку без точки и лежащий вне квадрата — множество всех точек отрезка за исключением точки Повернем множество около точки В на 270° (против часовой стрелки). Мы получим при этом внутреннюю область треугольника Поскольку отрезок без точек конгруэнтен отрезку без точек Е и В, отрезок без точки О конгруэнтен отрезку без точки А, а множество конгруэнтно множеству мы можем легко заключить, что треугольник (внутренние точки вместе с периметром) конгруэнтен при разбиении на пять частей множеству Так как по нашей лемме множество конгруэнтно при разбиении на три части квадрату К, мы, на основании теоремы 8, заключаем, что треугольник конгруэнтен квадрату при разбиении на 15 частей. Тем самым теорема 6 доказана.

Возникает вопрос, ответ на который пока неизвестен: каково наименьшее натуральное число при котором прямоугольный равнобедренный треугольник конгруэнтен квадрату при разбиении на частей?

С. Банахи А. Тарский доказали, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы два многоугольника (расположенные на плоскости) были конгруэнтны при конечном разбиении, является равенство их площадей. Заметим, что доказательство необходимости этого условия значительно труднее, чем доказательство его достаточности.

Для многогранников положение совершенно другое. По теореме Банаха и Тарского (доказанной ими с помощью аксиомы выбора), любые два ограниченных многогранника конгруэнтны при конечном разбиении (даже если они имеют разные объемы). Из результата Банаха—Тарского, в частности, следует, что куб конгруэнтен при конечном разбиении кубу, который в два раза больше его по объему, а шар (внутренняя часть вместе с поверхностью) конгруэнтен при конечном разбиении кубу. В то же время мы не знаем, конгруэнтен ли при конечном разбиении круг (внутренняя область вместе с окружностью) квадрату.

Теорема 9. Отрезок прямой конгруэнтен при разбиении на три части некоторой своей правильной части, а именно — этому отрезку, лишенному одного из концов.

(Рекомендуется сравнить теорему 9 с теоремой 1.)

Доказательство. Пусть — отрезок прямой, образованный из всех точек прямой с абсциссами и пусть а — некоторое иррациональное число, Обозначая через целую часть действительного числа (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее положим при ) Очевидно, что все суть действительные числа и пусть означает множество всех точек отрезка с абсциссами где — множество всех точек отрезка с абсциссами где и, наконец, множество всех остальных точек отрезка не принадлежащих ни ни Множество является, следовательно, суммой трех множеств никакие два из которых не имеют общих точек.

Заметим здесь, что неравенство , можно заменить на так как в случае было бы что невозможно, так как из этого следовало бы, что число а рациональное, вопреки условию. Множество является, следовательно, множеством всех точек отрезка с абсциссами где

Пусть теперь — это множество всех точек, которое мы получим, удаляя из отрезка его начало, т. е. точку с абсциссой — множество всех

точек отрезка с абсциссами где множество всех точек отрезка с абсциссами где 1. Множество есть, очевидно, сумма трех множеств никакие два из которых не имеют общих точек. Для доказательства того, что достаточно, таким образом, доказать, что

Покажем, что множество конгруэнтно множеству при сдвиге на . Действительно, если точка принадлежит , то, как мы знаем, , следовательно, и откуда, вследствие получаем, что поскольку

то , откуда причем, вследствие и точка принадлежит множеству Следовательно, любая точка множества при сдвиге на переходит в точку множества

Если же принадлежит множеству то а поскольку откуда , то причем, вследствие мы имеем что доказывает, что точка принадлежит множеству Следовательно, любая точка множества при сдвиге на переходит в точку множества Таким образом, мы доказали,

Пусть теперь есть точка множества Тогда откуда поскольку то откуда доказывает, что точка принадлежит множеству Следовательно, любая точка множества при сдвиге на переходит в некоторую точку множества

Пусть, наконец, есть точка множества Тогда 1, что доказывает, что откуда и, поскольку получаем откуда затем откуда что доказывает, что точка принадлежит множеству Любая точка множества при сдвиге на —а переходит, следовательно, в точку множества Мы доказали, таким образом, что

Теорема 9 доказана. В связи с теоремой 9 отметим, что можно доказать, что отрезок прямой не конгруэнтен при разбиении на две части никакой своей правильной части.

Теорема 10. Множество всех точек прямой с рациональными абсциссами и множество всех точек прямой с абсциссами, являющимися конечными десятичными дробями, не конгруэнтны при конечном разбиении.

Доказательство (С. Мазур). Пусть будет разбиением множества на множеств. По меньшей мере одно из этих множеств содержит бесконечно много чисел вида где — простое число. Пусть это будет множество Существуют, следовательно, два простых числа и такие, что числа и принадлежат множеству Поскольку разность не может быть выражена конечной десятичной дробью, следовательно, множество не может быть конгруэнтно никакой части множества Отсюда следует, что соотношение не может иметь места.

Можно доказать, что любое бесконечное множество точек прямой, плоскости или пространства содержит бесконечное подмножество, с которым оно не конгруэнтно при конечном разбиении.

Теорема 11. Если а и — два произвольных действительных числа, А — множество всех рациональных чисел, меньших а, и В — множество всех рациональных чисел, больших то

Доказательство. Мы можем, очевидно, принять, что например, Пусть — такое натуральное число, что Обозначим через множество всех рациональных чисел таких, что и (обозначая через сдвиг множества на с) положим

Множества этой последовательности, как легко видеть, конгруэнтны между собой и никакие два из них не имеют общих точек. Обозначим через множество, полученное из множества В путем удаления из него всех точек множества через — множество, полученное из множества путем удаления из него всех тех точек, которые принадлежат множеству Тогда

Отсюда немедленно следует, что и теорема 11 доказана.

Из теоремы 11, в частности, следует, что если А есть множество всех рациональных чисел, меньших множество всех рациональных чисел, меньших то Заметим здесь, однако, что наши множества А и В не конгруэнтны между собой. Чтобы доказать это, докажем более общую теорему, которая гласит:

Теорема 12. Множества А и В, о которых говорится в теореме 11, конгруэнтны между собой тогда и только тогда, когда есть рациональное число.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства его необходимости допустим, что число является иррациональным. Множества А и В не могут, очевидно, быть конгруэнтными при повороте прямой около какой-либо ее точки. Следовательно, если они конгруэнтны, то это возможно только при сдвиге, и существует действительное число с такое, что откуда причем, очевидно, числос должно быть больше 0. Если бы было , из чего следовало бы то существовало бы рациональное число такое, что и число не принадлежало бы множеству вопреки тому, что . Если же было бы то существовало бы рациональное число такое, что и число принадлежало бы множеству и не принадлежало множеству В, вопреки тешу, что Следовательно, должно быть . Пусть — рациональное число, принадлежащее множеству А. Число принадлежит в таком случае множеству и потому является рациональным, откуда следует, что и число рационально, что доказывает необходимость нашего условия. Таким образом, теорема 12 доказана.

Следствие. Множество А всех рациональных чисел, меньших и множество В всех рациональных чисел, меньших , не конгруэнтны.

Доказательство. Как следует из теоремы 12, в этом случае достаточно доказать, что число — иррациональное. Это действительно так, потому что если бы число было рациональным, то рациональным было бы и число следовательно, и число которое, как известно, иррационально. Тем самым следствие доказано.

Теперь может быть доказана

Теорема 13. Если А есть множество всех рациональных чисел, меньших множество всех рациональных чисел, больших то множества А и В не конгруэнтны, но конгруэнтны при разбиении на две части.

Доказательство. Поскольку неравенство равносильно неравенству то множество В конгруэнтно при повороте вокруг точки с абсциссой 0 множеству С всех рациональных чисел, меньших которое, в силу теоремы 11, конгруэнтно при разбиении на две части множеству А. Ввиду имеем, следовательно, также . Напротив, невозможно, так как при этом было бы и из определения множества А и С по теореме 12, следовало бы, что число является рациональным, что неверно. Теорема 13 доказана.

Заметим, что теоремы 11 и 12 сохраняют силу, если в их условиях слово «рациональные» заменить словом «иррациональные». Доказательство измененной таким образом теоремы 11 остается прежним, а доказательство измененной теоремы 12 нужно было бы несколько видоизменить.

Теорема 14. Если А — множество всех квадратов натуральных чисел, множество всех квадратов натуральных чисел, больших 1, то множества А и В не конгруэнтны при конечном разбиении.

Доказательство. Допустим, что множества А и В конгруэнтны при конечном разбиении. В таком случае должно существовать натуральное число и множества удовлетворяющие условиям . Допустим, что — тот элемент последовательности , который является бесконечным множеством. Поскольку А есть бесконечное множество натуральных чисел, так же как и В, то А не может быть конгруэнтным при повороте. По 3° множество А должно быть конгруэнтно множеству при сдвиге, скажем, на а. Допустим, что Пусть есть произвольная точка множества А. Тогда точка будет принадлежать множеству и, следовательно, будет существовать натуральное число Такое, что откуда Так как то и тем более Множество А содержало бы, следовательно, не более чем точек, вопреки тому, что оно бесконечно. Поэтому должно быть откуда следует .

Мы доказали, таким образом, что для любого бесконечного элемента имеет место Если среди множеств множества являются Конечными, а множества бесконечными, то, обозначая мы будем, на основании 1°, иметь этих выражений следует, что поскольку множество А получают из множества В, присоединяя к нему точку 1, то множество получают из множества добавляя к нему точку 1. Множество (конечное) имеет, следовательно, на один элемент больше, чем множество Но по 2° и 3° эти множества должны иметь одно и то же число элементов, что приводит к противоречию.

Множества А и В, таким образом, не конгруэнтны при конечном разбиении, и теорема 14 доказана.

Приведем здесь без доказательств еще несколько утверждений о конгруэнтности множеств при конечном разбиении, доказательства которых имеются в цитированной в конце § 2 моей книге, изданной в Индии.

Отрезок прямой не конгруэнтен при конечном разбиении никакому меньшему отрезку. Аналогично квадрат (внутренняя область вместе с периметром) не конгруэнтен при конечном разбиении меньшему квадрату. В то же время (как это доказали с помощью аксиомы выбора С. Банах и А. Тарский) куб (внутренняя область вместе с поверхностью) конгруэнтен при конечном разбиении любому другому кубу.

Р. М. Робинсон (R. М. Robinson) доказал, что поверхность сферы

является суммой двух частей, не имеющих общих точек, каждая из которых конгруэнтна при разбиении на две части.

Этот же автор доказал, что шар К (внутренняя область вместе с поверхностью) является суммой двух множеств, не имеющих общих точек, где Отсюда следует утверждение (доказанное уже в 1924 г. С. Банахом и А. Тарским), что шар конгруэнтен при конечном разбиении двум шарам того же, что и он, размера, не имеющим общих точек.

Можно доказать, что если множество содержит множество В и содержится в множестве А и если то

Д. Кёниг и С. Валько доказали, что если для некоторого натурального числа Лги где никакие два из множеств также никакие два из множеств не имеют общих элементов, и если при то Доказательство является трудным уже для и для Доказательство для нашел К. Куратовский.

А. Линденбаум (А. Lindenbaum) высказал без доказательства следующее утверждение:

Если для натурального числа множества А и В конгруэнтны и имеют менее общих точек, то (через обозначается множество всех тех точек множества А, которые не принадлежат множеству В). В этом утверждении число нельзя заменить никаким большим натуральным числом.

Доказательства этих утверждений приведены в моей книге, изданной в Индии, на стр. 110—113 (теоремы 32 и 33).

Вспомним здесь еще о проблеме разбиения квадрата на неповторяющиеся квадраты. Речь идет о том, можно ли представить квадрат в виде суммы конечного числа квадратов, не имеющих общих внутренних точек, из которых никакие два не равновелики между собой. Некоторое время предполагали, что такие разбиения не существуют, позже было найдено несколько разбиений. Квадрат со стороной 175 можно разбить на 24 квадрата, стороны которых соответственно равны 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 18,

20, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 43, 51, 55, 56, 64, 81. Неизвестно, можно ли разбить квадрат на менее чем 24 различных квадрата. Неизвестно также, для каких натуральных чисел квадрат можно разбить на различных квадратов. Известно лишь, что может быть здесь и что число может быть сколь угодно велико. Легко доказать, что если квадрат можно разбить на различных квадратов, то его можно разбить и на таких квадратов.