13. Непересекающиеся множества

О двух множествах, не имеющих ни одного общего элемента, говорят, что они не пересекаются. Если имеется несколько множеств, то говорят, что они попарно непересекающиеся. если не пересекаются никакие два из них.

Легко доказать, что если счетное множество разбить на попарно непересекающиеся множества, то множество этих множеств будет или конечным, или счетным. Действительно, если мы каждому из множеств на которые мы разбили счетное множество соотнесем самый первый член этой последовательности, принадлежащий то. поскольку наши множества не пересекаются, каждому множеству будет соответствовать другой член нашей последовательности, и мы сможем расположить наши множества в виде конечной или бесконечной последовательности в соответствии с расположением последовательности этих элементов.

Два счетных множества называют почти непересекающимися, если они имеют только конечное (или равное нулю) число общих элементов.

Докажем, что множество всех натуральных чисел можно разбить на несчетное число множеств, любые два из которых являются почти непересекающимися.

Обозначим с этой целью для каждого действительного числа через наибольшее целое число для каждого действительного положительного числа х обозначим через множество всех чисел (очевидно, натуральных)

Покажем теперь, что для множества имеют только конечное (или равное нулю) число общих элементов.

Действительно, если при каких-нибудь натуральных имеем

то отсюда легко получаем, что должно быть следовательно, что, ввиду условия дает, как легко заметить,

Таким образом, множества имеют менее чем, следовательно, конечное число общих элементов

Мы доказали таким образом, что существует несчетное семейство бесконечных множеств натуральных чисел, любые из которых являются почти непересекающимися. Поскольку эти множества различны, то отсюда следует, что множество всех натуральных чисел имеет несчетное количество различных бесконечных подмножеств.